Sul determinante il cui annullarsi esprime la condizione affinchè \(n+2\) punti dello spazio ad \(n\) dimensioni stiano su di una stessa ipersfera. (Q1469962)

Stellt man die vier komplexen Zahlen \(z_k=x_k+iy_k (k=1, 2, 3, 4)\) durch die Punkte \(P_k=(x_k, y_k)\) dar, so ist bekanntlich die notwendige und hinreichende Beidingung, damit diese Punkte auf einem Kreise liegen, daß das Doppelverhältnis \((z_1, z_2, z_3, z_4)\) reell sei, d. h. daß die Determinante \[ D=\left| \begin{matrix} (x_1-x_3)(x_2-x_3)&+(y_1-y_3)(y_2-y_3),\;(x_1-x_3)(x_2-x_3)&-(y_1-y_3)(y_2-y_3) \\ (x_1-x_4)(x_2-x_4)&+(y_1-y_4)(y_2-y_4),\;(x_1-x_4)(x_2-x_4)&-(y_1-y_4)(y_2-y_4)\end{matrix}\right|=0 \] sei. Andererseits ist augenscheinlich die Bedingung, daß die vier Punkte \(P_k\) auf einem Kreis liegen \[ \Delta=\left|\begin{matrix} x_1^2+y_1^2 & x_1 & y_1 & 1 \\ x_2^2+y_2^2 & x_2 & y_2 & 1 \\ x_3^2+y_3^2 & x_3 & y_3 & 1 \\ x_4^2+y_4^2 & x_4 & y_4 & 1 \end{matrix}\right| =0. \] Daher müssen \(D\) und \(\Delta\) proportional sein; und in der Tat wird vom Verf. durch elementare Transformationen von \(\Delta\) bewiesen, daß \(\Delta=-D\) ist. Ein ähnliches Resultat wird durch eine ganz ähnliche Reduktionsmethode im \(n\)-dimensionalen Raume aufgestellt. (V 5 A.)