Das algebraische Analogon zu einem Satze von Fejér. (Q1469988)

Versteht man unter dem \textit{Wertvorrat} einer Bilinearform \(C(x, y)\) die Gesamtheit der reellen und komplexen Werte, die der Ausdruck \[ C(x, \overline x)=\sum_{\alpha, \beta} c_{\alpha,\beta} x_{\alpha}\overline x_{\beta} \] unter der Nebenbedingung \(x_1\overline x_1+\cdots+x_n\overline x_n=1\) annimmt, so folgt aus einer leichten Erweiterung bekannter Sätze, daß die Eigenwerte einer beliebigen Bilinearform alle zu ihrem Wertvorrat gehören. Es heiße nun eine Bilinearform \(C\) \textit{normal}, wenn sie mit ihrer begleitenden Form \(\overline C'\) vertauschbar ist; dann wird der Satz bewiesen (\S,2): Ist \(\mathfrak K\) der kleinste konvexe Bereich, der alle Eigenwerte der Bilinearform \(C\) umschließt, ist \(\mathfrak W\) der Wertvorrat von \(C\), und ist \(C\) \textit{normal}, so ist \(\mathfrak W\) mit \(\mathfrak K\) identisch. Es wird dann das Verhältnis von Wertvorrat und Maximum einer Bilinearform untersucht (\S\,3). Ferner wird in \S,4 gezeigt, daß der äußere Rand des Bereiches \(\mathfrak W\) stets eine konvexe Kurve ist. (Daß \(\mathfrak W\) selbst eine konvexe Menge ist, hat \textit{F. Hausdorff} gezeigt [Math. Z. 3, 314--316 (1919; JFM 47.0088.02)].) In \S\,5 wird eine Erweiterung dieser Fragestellung für einen Komplex von \(v\) Hermiteschen Formen betrachtet. Schließlich wird auf den Zusammenhang mit einem Satze von Fejér hingewiesen und für diesen folgende Verallgemeinerung gegeben: Der Wertvorrat einer \(L\)-Form \(\sum_{-\infty}^{+\infty}c_{\beta-\alpha}x_{\alpha}y_{\beta}\) liegt ganz in dem kleinsten konvexen Bereich, der den Wertvorrat der zugehörigen Funktion \(\sum c_n z^n\) längs des Einheitskreises \(| z| =1\) umschließt, und ist mit ihm identisch. (Vgl. dazu \textit{O. Szász} [Math. Z. 4, 163--176 (1919; JFM 47.0273.01)] (IV 4.)