Natürliche Normalformen linearer Transformationen. (Q1469989)

Der Verf. will die \textit{Weierstraß}sche Elementarteilertheorie durch ein vollständig rationales Verfahren ersetzen und auf diese Weise einen neuen Zugang zum Äquivalensatz angeben, der manche Vorteile aufweist. Es sei \((l_{ik})_1^n\) beliebig und \((\xi)\) ein von (0) verschiedener Punkt des \(n\)-dimensionalen Raumes, \((\xi), (\xi)\mathfrak L, (\xi)\mathfrak L^2,\dots\) die Punkte, die aus \((\xi)\) durch fortgesetzte Anwendung der den \(l_{ik}\) entsprechenden linearen Transformation entstehen. Wir suchen den ersten Punkt \((\xi)\mathfrak L^\alpha\) aus, der sich aus seinen Vorgängern linear kombinieren läßt, d. h. \(a_0(\xi)+a_1(\xi)\mathfrak L+\cdots+a_{\alpha-1}(\xi)\mathfrak L^{\alpha-1}-(\xi)\mathfrak L^{\alpha}=(\xi)A(\mathfrak L)=0\) und wählen \((\xi)\) derart, daß \(\alpha\) möglichst groß ausfalle. \(A(\omega)\) heißt dann das erste charakteristische Polynom. Bei \(\alpha<n\) läßt sich dieses Verfahren fortsetzen, indem man von einem Punkt \((\eta)\) ausgeht, der sich nicht aus \((\xi), \dots, (\xi)\mathfrak L^{\alpha-1}\) linear kombinieren läßt und die kleinste Potenz \((\eta)\mathfrak L^{\beta}\) aufsucht, für die eine Darstellung von der Form \[ (\eta)\mathfrak L^{\beta}=b_0(\eta)+b_1(\eta)\mathfrak L+b_2(\eta)\mathfrak L+\cdots+ b_{\beta-1}(\eta)\mathfrak L^{\beta-1}+(\xi)P(\mathfrak L) \] \((P(\omega)\) ist ein Polynom) möglich ist. Auf diese Weise definiert man eine Folge von Zahlen \(\alpha\geqq \beta\geqq \gamma\cdots\) mit \(\alpha+\beta+\gamma+\cdots=n\) und die zugehörigen charakteristischen Polynome. Im Falle einer ``dreiteiligen linearen Transformation'' \((\alpha+\beta+\gamma=n)\) läßt sich nun die folgende Normalform angeben: \[ \begin{matrix} x_1'=a_0x_{\alpha}, & x_2'=x_1+a_1x_{\alpha}, \dots, & x_{\alpha}'=x_{\alpha-1}+a_{\alpha-1}x_{\alpha}, \\ y_1'=b_0y_{\beta }, & y_2'=y_1+b_1y_{\beta }, \dots, & y_{\beta}'=y_{\beta -1}+b_{\beta -1}y_{\beta}, \\ z_1'=c_0z_{\gamma }, & z_2'=z_1+c_1z_{\gamma }, \dots, & z_{\gamma }'=z_{\gamma -1}+c_{\gamma -1}z_{\gamma }\end{matrix}. \] (Analog im allgemeinen Falle.) Jedes charakteristische Polynom ist durch das folgende teilbar; sie sind durch \((l_{ik})_1^n\) eindeutig bestimmt und stimmen genau mit den rationalen Elementarteilern der charakteristischen Marixt überein. Die notwendige und hinreichende Bedingung für die Äquivalenz wird also durch das Übereinstimmen der beiden Reihen charakteristischer Polynome gegeben.