Die Funktionalgleichungen der isomorphen Abbildung. (Q1470036)

Es handelt sich um das von \textit{Dedekind} in seiner Arbeit über die Permutationen des Körpers aller algebraischen Zahlen (F. d. M. 32, 207 (JFM 32.0207.*), 1901) aufgeworfene Problem der isomorphen Abbildung des Körpers aller komplexen Zahlen, -- allgemeiner eines beliebigen, abstrakt definierten Körpers -- das auf die Funktionalgleichungen \[ f(x+y)=f(x)+f(y); f(x\cdot y) = f(x)\cdot f(y) \] für jedes Element \(x, y\) des Körpers führt; die allgemeinsten Lösungen werden vermöge einer rationalen Basis des Körpers konstruiert, deren Existenz aus dem Wohlordnungssatz gefolgert wird. Für den Körper aller komplexen Zahlen wird noch gezeigt, daß die gefundenen Lösungen -- mit Ausnahme von \(f(z)=z\) o der \(\overline z\) -- extrem unstetig sind, d. h. daß es in der Umgebung jeder rellen oder komplexen Zahl \(z_0\) Werte \(z\) gibt, für die \(f(z)\) einem beliebig vorgegebenen Wert \(Z_0\) beliebig nahe kommt. Wie die Verfasserin nachträglich bemerkte, findet sich ein Teil der Resultate schon bei \textit{Lebesgue} (F. d. M. 38, 97 (JFM 38.0097.*), 1907) und implizit bei \textit{Ostrowski} (F. d. M. 44, 239 (JFM 44.0239.*), 1913). (IV 3 C.)