Über endliche Gruppen und \textit{Hermite}sche Formen. (Q1470044)

Der Verf. beweist: \(\mathfrak G\) sei eine beliebige Permutationsgruppe in den \(n\) Vertauschungsziffern \(1, 2, \dots, n\) und \(\mathfrak M\) sei irgendeine Darstellung von \(\mathfrak G\) durch unitäre Substitutionen, d. h. solche, die die \textit{Hermite}sche Einheitsform \(x_1\overline x_1+x_2\overline x_2+\cdots+x_n\overline x_n\) in sich transformieren. Der Permutation \(G=\left(\begin{matrix} 1& 2&\dots &n\\ \gamma_1&\gamma_2&\dots&\gamma_n\end{matrix}\right)\) von \(\mathfrak G\) entspreche bei der Darstellung \(\mathfrak M\) die Matrix \(M_G\). Dann ist für jede positive \textit{Hermite}sche Matrix \(H=(h_{ik})\) auch \[ M=\sum M_G h_{1\gamma_1}h_{2\gamma_2}\dots h_{n\gamma_n}, \] die Summe über alle Permutationen \(G\) der Gruppe \(\mathfrak G\) erstreckt, eine positive \textit{Hermite}sche Matrix. Weiter wird bewiesen: Leitet man aus \(M\) eine neue \textit{Hermite}sche Matrix \(M_1\) ab, indem man von jedem Element der Hauptdiagonale von \(M\) die Determinante \(D\) von \(H\) subtrahiert, so ist \(M_1\) eine nicht negative \textit{Hermite}sche Matrix. Die Spuren von \(M\) und \(M_1\) haben die Werte \[ \sum_{\chi} (G) h_{1\gamma_1}h_{2\gamma_2}\dots h_{n\gamma_n}\;\text{ bzw. }\;\sum_{\chi} (G) h_{1\gamma_1}h_{2\gamma_2}\dots h_{n\gamma_n}- mD, \] wobei \(\chi(G)\) den \textit{Frobenius}schen Gruppencharakter der von uns betrachteten Darstellung \(\mathfrak M\) und \(m=\chi(E)\) seinen Grad bedeuten. Da \(M\) eine positive, \(M_1\) eine nicht negative \textit{Hermite}sche Matrix sind, hat man \[ (1) \quad \sum_{\chi}(G)h_{1\gamma_1}h_{2\gamma_2}\dots h_{n\gamma_n} > 0, \qquad (2) \quad \sum_{\chi}(G)h_{1\gamma_1}h_{2\gamma_2}\dots h_{n\gamma_n} \geqq mD. \] Die Ungleichungen (1) und (2) gelten, da jede Darstellung einer endlichen Gruppe durch Matrizen einer solchen durch unitäre Matrizen äquivalent ist, für jeden Gruppencharakter \(\chi(G)\) jeder beliebigen Permutationsgruppe \(\mathfrak G\). Für die Ungleichung (2) gibt der Verf. auch an, unter welchen Bedingungen das Gleichheitszeichen in ihr stehen muß. Als sehr spezieller Fall ist in (2), für \(\mathfrak G\) gleich der Einheitsgruppe \(\mathfrak E\), die bekannte \textit{Hadamard}sche Ungleichung \(h_{11}h_{22}\dots h_{nn}\geqq D\) enthalten, während (1) eine sehr weitgehende Verallgemeinerung der Tatsache ist, dasß die Abschnittsdeterminanten einer positiven \textit{Hermite}schen Matrix stets positiv sein müssen. Durch passende Wahl von \(\mathfrak G\) erhält man aus (2) auch \textit{E. Fischers} (Arch. d. Math. u. Phys. (3) 13, 1908) Verallgemeinerung der \textit{Hadamard}schen Ungleichung. Die zwei letzten Paragraphen beschäftigen sich mit der \textit{Jacobi}schen Transformationen einer nichtnegativen \textit{Hermite}schen Form mit unendlich vielen Veränderlichen und den Beziehungen dieser Formen zur Inegralrechnung. Ist \(H=\sum h_{ik}x_i\overline x_k\) eine nichtnegative \textit{Hermite}sche Form mit endlich oder unendlich vielen Veränderlichen, so kann man für jedes Intervall \((a, b)\) eine Folge von endlich oder unendlich vielen Funktionen \(f_1(t), f_2(t), \dots\) bestimmen, so daß die Gleichungen \(h_{ik}=\int_a^b f_i(t)\overline f_k(t)dt (i, k=1, 2, \dots\) bestehen; dabei bedeuten \(f\) und \(\overline f\) in üblichen Weise konjugiert imaginäre Größen. Jede Ungleichung für nicht negative \textit{Hermite}sche Formen läßt sich daher in eine solche für gewisse Integrale umsetzen.