Über zusammengesetzte Zahlkörper. (Q1470306)

\(G_{\nu}\) seien in einem Bereiche \(\Gamma\) relativ \textit{Galois}sche Körper vom Grade \(n_{\nu}, G\) der zusammengesetzte Körper vom Grade \(n\). Es sei \(\mathfrak p\) ein Primideal in \(\Gamma\) mit der Zerlegung \({\mathfrak p}=({\mathfrak p}_1^{(\nu)} {\mathfrak p}_2^{(\nu)}\dots {\mathfrak p}_{e_{\nu}}^{(\nu)})^{g_{\nu}}\) in \(G_{\nu}\) und mit \({\mathfrak p}=({\mathfrak P}_1{\mathfrak P}_2\dots {\mathfrak P}_e)^g\) in \(G\). Hierbei sind \({\mathfrak p}_i^{(\nu)}\) verschiedene Primideale vom Grade \(f, {\mathfrak P}_i\) vom Grade \(f(\nu=1, 2)\). Es bestehen dann die folgenden Relationen: \(f\equiv 0 (\text{mod.} f_{\nu})\), \(\frac{f_3f_2f_1g_2}{g}\equiv 0 (\text{mod.} f)\); aus \(g_1=g_2=1\) folgt \(g=1, f=\frac{f_1f_2}{(f_1, f_2)}(\nu=1, 2)\). Ist ferner die Trägheitsgruppe von \({\mathfrak P}_i\) zyklisch, dann wird \(g=\frac{g_1g_2}{(g_1, g_2)}\). \(((a, b)\) ist der größte gem. Teiler von \(a\) und \(b\).)