Die Verallgemeinerug des \textit{Legendre}schen Symboles für allgemeine algebraische Körper. (Q1470312)

Eine algebraische Zahl \(A\) ist \(m\)-ter Potenzrest \((\text{mod.}\mathfrak p)\), wenn es eine Zahl \(x\) desselben Körpers gibt, so daß: \[ x^m\equiv A(\text{mod.} {\mathfrak p}^k)\;(k=1, 2, \dots). \] Diese Bedingung ist identisch mit der folgenden: \[ (*)\quad x^m=A({\mathfrak p}), \] wo \(x\) eine \(\pi\)-adische Zahl im Körper \(K({\mathfrak p})\) bedeutet. Diese \(\pi\)-adische Gleichung hat keine oder \(B=(m, (p^f-1)p^{\nu})\) Wurzeln, wo \(p^{\nu}\) der größte Teiler von \(e, f\) der Grad und \(e\) die Ordnung von \(\mathfrak p\) ist. Führt man die vom Verf. gefundene multiplikative Darstellung ein (vgl. die vorst. Besprechung) \[ \alpha=\pi^{\xi}w^{\eta}\eta_1^{\zeta_1}\dots \eta_{\lambda}^{\zeta_{\lambda}},\;A=\pi^a w^b \eta_1^{c_1}\dots \eta_{\lambda}^{c_{\lambda}}, \] so lautet die Bedingung für die Gleichung (*) \[ a\equiv 0 (\text{mod}.m),\;b\equiv 0(\text{mod}.B),\;c_i\equiv 0 (\text{mod}.p^{\mu}), \] wo \(p^{\mu}\) die größte in \(m\) enthaltene Potenz von \(p\) ist. Diese Kongruenzen werden zusammengefaßt durch Einführung eines \textit{Charakters} \(\left\{ \frac{A}{{\mathfrak p}}\right\}\), wo \(A\) dann und nur dann \(m\)-ter Potenzrest ist, wenn sein Charakter gleich dem \textit{Einheitscharakter} ist; dann ist, in \(A=\pi^a E\), \(a\) durch \(m\) teilbar und \(E\) sowohl \(a_0=(m, p^f-1)\)-ter als auch \(p^{\mu}\)-ter Potenzrest. Der Verf. zeigt noch, daß die Berechnung des Charakters im Falle, daß \(m=q=\) einer Primzahl ist, zurückgeführt werden kann auf die Auflösung einer Kongruenz \[ x^q\equiv A (\text{mod}.{\mathfrak p}^{\sigma}), \] wo \(\sigma\) geeignet zu wählen ist.