Über die \textit{Hecke}sche Funktionalgleichung. (Q1470322)

Bedeutet \(H(x)\) die Anzahl der Ideale eines algebraischen Zahlkörpers vom Gerade \(n\), deren Norm \(\leqq x\), so ist schon lange bekannt \[ H(x)=\alpha x+O(x^{\vartheta})\;(\alpha\;\text{eine Konstante}) \] für \(\vartheta=1-\frac{1}{n}\). Ist \(\gamma\) die untere Grenze der \(\vartheta\), für welche diese Abschätzung noch richtig ist, so gilt also \[ 0\leqq \gamma\leqq 1-\frac {1}{n}. \] In der Arbeit wird gezeigt, daß \[ \frac 12-\frac{1}{2n}\leqq \gamma\leqq 1-\frac{2}{n+1}. \] Der Beweis benutzt die Funktionalgleichung der Zetafunktionen des Körpers und im übrigen analytische Methoden, die der Verf. zur Abschätzung von Gitterpunktanzahlen schon früher entwickelt hatte. Der entsprechende Satz für die Ideale einer Klasse wird ebenfalls bewiesen.