On the representations of numbers as a sum of \(2^r\) squares. (Q1470328)

Die von Smith und Minkowski begründete arithmetische Theorie der allgemeinen quadratischen Formen ermöglicht, die Anzahl der Darstellungen einer Zahl \(m\) als Summe von \(2^r\) Quadraten für \(r=1, 2, 3, 4\) zu berechnen. Nach gewissen speziellen Resultaten von Liouville, Petr, Humbert für \(r>4\) hat \textit{J. W. L. Glaisher} [Proc. Lond. Math. Soc. (2) 5, 479--491 (1907; JFM 38.0225.03)] für \(r=5, 6, 7, 8, 9\) abschließende Resultate erhalten. Auch von \textit{S. Ramanujan} rühren einige ohne Beweis angegebene Formeln der [Trans. Camb. Philos. Soc. 22, No. 9, 169--184 (1916)]. Der Verf. zeigt nun, daß alle diese Resultate sich auf eine direkte und einheitliche Weise ermitteln lassen, wenn man von der Theorie der Modulfunktionen ausgeht und die Aufgabe stellt, die Entwicklung von \[ (1+2q+2q^2+\cdots+2q^{n^2}+\cdots)^{2r} \] nach Potenzen von \(q\) zu bestimmen. (II 7, IV 6 D.)