Über einige ältere Vermutungen und Behauptungen in der Primzahltheorie. I, II. (Q1470329)

Eine Arbeit von höchst vielgestaltigem Inhalt! Es wird eine Anzahl älterer Vermutungen und Behauptungen aus der Primzahltheorie teils widerlegt, teils in ihren Konsequenzen bis zu den Tiefen der \textit{Riemann}schen Vermutung verfolgt. Es handelt sich zunächst um eine Behauptung von \textit{Tschebyscheff} aus dem Jahre 1853, nach der I. \textit{für wachsendes} \(x\to 1 \lim \sum \chi(p)x^p=-\infty\) \textit{sein soll}. Dabei bedeutet \(\chi(n)\) den Nicht-Hauptcharakter \(\text{mod.} 4\). Der Verf. zeigt, ohne diese Behauptung zu beweisen oder sie zu widerlegen, daß aus ihr folgen würde: II. \textit{Die Funktion} \(L(s)=\sum \frac{\chi(n)}{n^s}\) \textit{hat alle ihre komplexen Nullstellen auf der Geraden} \(\mathfrak R(s)=\frac 12\) \textit{zu liegen}. Während der Drucklegung der vorliegenden Arbeit erschien in der Acta Math. eine hochbedeutsame Abhandlung von \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} (siehe das Ref. aus S. 498), in der umgekehrt I aus II gefolgert wird und zwar durch eine längere, sehr tiefliegende Hilfsmittel heranziehende Beweiskette. Eine etwas vereinfachte Darstellung dieses Beweises bildet den Inhalt der zweiten Arbeit von \textit{Landau}. Die gleichzeitige Beschäftigung dieser damals durch den Krieg getrennten Personen mit dem Zusammenhang von I und II wird dadurch doppelt interessant, daß \textit{Hardy} und \textit{Littlewood} in ihrer Arbeit mitteilen, daß sie sich vergeblich bemüht haben, auch II aus I zu folgern, was nun eben zu gleicher Zeit und ganz unabhängig durch \textit{Landau} geleistet wurde. Die übrigen Vermutungen und Behauptungen sind demgegenüber von geringerer Bedeutung. Es wird zunächst gezeigt. III. Aus II folgt \(P(x)=\sum_{p\leqq x}\chi(p)=O(x^{\frac 12+\delta}),\) ja sogar IV. \(P(x)=O(x^{\frac 12}\log x)\). Des weiteren hat \textit{Tschebyscheff} behauptet: V. Ist \(f(x)\) für \(x\geqq 3\) monoton fallend und \(\sum \chi(p)f(p)\) konvergent, so strebt \(f(x)\sqrt x \to 0\) (oder jedenfalls nicht gegen einen von Null verschiedenen Grenzwert). Demgegenüber zeigt der Verf. VI. Wenn \(f(x)=O(x^{-\frac 12-\delta})\) für ein \(\delta>0\), so ist \(\sum\chi(p)f(p)\) sicher konvergent. \textit{Lerch} hatte behauptet: VII. Für die Funktion \(L(s)=\sum \left( \frac{D}{n} \right) \frac{1}{n^s}\) gilt \(L(\frac12)\neq 0\). Der Verf. zeigt, daß dies für jedes \(D\) falsch ist. Weiter hatte \textit{Lerch} gesagt, daß seine Behauptung mit einer (heuristischen) Formel von \textit{Cesàro} im Einklang stehe. Der Verf. zeigt, daß sich im Gegenteil beide widersprechen. Bei dieser Gelegenheit wird der einfache aber schöne Satz aufgestellt: Ist die \textit{Dirichlet}sche Reihe \(\sum_{n=1}^{\infty} \frac{c_n}{n^s}\) für \(s=s_0\) konvergent, so besitzt die durch diese Reihe für \(\mathfrak R(s)>\mathfrak R(s_0)\) dargestellt analytische Funktion auf der Geraden \(\mathfrak R(s)=\mathfrak R(s_0)\) keinen Pol. Weiter wird die Vermutung von \textit{Stieltjes}, daß die Reihe \(\sum\frac{\mu(n)}{\sqrt n}\) konvergent sei, mit Hilfe des ebengenannten Satzes sehr einfach widerlegt. Endlich wird auch eine Behauptung von \textit{Torelli}, daß \(\prod \left( 1-\frac{\chi(p)}{p^s} \right)^{-1}\) für \(s>0\) konvergierte, als falsch nachgewiesen.