Über die Anzahl der Gitterpunkte in gewissen Bereichen. III (Q1470330)

Diese Note schließt an die zweite Abhandlung gleichen Titels an, über welche im JFM 45.0312.01 berichtet wurde. Sie beginnt mit der folgenden Formulierung der Behauptung, deren Beweis dann den Inhalt der Note bildet: Unter den sieben ersten Voraussetzungen des Hauptsatzes der zweiten Abhandlung behaupte ich des ferneren: Entweder alle \(c_n\) sind 0, oder es besteht für kein \(\varepsilon>0\) die Relation \[ \Omega(x)=\sum_{\lambda_n\le x} c_n\lambda_n^{\beta}=V(x)+ O\left( x^{-\frac{\eta+\frac 12}{H}+\beta-\varepsilon} \right), \] in der \(V(x)\) eine endliche Summe \(\sum bx^S\log^Q x\) mit komplexen \(b, S\), wobei \(\mathfrak R(S)\le \beta\), und ganzen \(Q\ge 0\) ist.