Über die Verteilung der quadratischen Reste und Nichtreste. (Q1470332)

Das Hauptresultat dieser Note läßt sich in folgenden Satz zusammenfassen: Bezeichnet \(\chi(m)\) einen eigentlichen Charakter mod. \(k (k>2)\) und \(S_{k, \chi}\) das Maximum von \(\left| \sum_a^b \chi(m) \right| \), wo \(a\) und \(b\) beliebig sind, dann ist \[ \lambda= \overline{\lim} \frac{S_{k,\chi}}{\sqrt k\log k} \leqq \frac{1}{\pi}. \] Der Beweis stützt sich auf die bekannte Formel \[ \sum_{s=1}^k \chi(s)e^{\frac{2\pi is}{k}}= \overline{\chi}(m) \tau(\chi), \] \[ (\tau(\chi)\;\text{ist von}\;m\;\text{frei und}\;| \tau(\chi)| =\sqrt k), \] sowie auf einen von \textit{Weyl} für andere Zwecke angewendeten Kunstgriff (vgl. Math. Ann. 77, 313). Dieselbe Methode führt auch auf andere Sätze über zahlentheoretische Funktionen, insbesondere über ihre Mittelwerte. Z. B. durchläuft \(n\) die quadratischen ungeraden Zahlen, und ist \(f(x)\) eigentlich integrabel, dann ist \[ \lim_{n=\infty} \frac{1}{\varphi(n)} \sum' f\left( \frac {s}{n} \right) =\infty_0^1 f(x) dx. \] Hierbei ist die Summation über sämtliche \(s\) erstreckt, die \(<n\) und zu \(n\) teilerfremd sind.