Über die Gleichverteilung von Zahlen mod. Eins. (Q1470368)

Sind \(\alpha_1<\alpha_2<\alpha_3<\dots\) unendlich viele reelle Zahlen, die auf einer Geraden markiert sind, und rollt man die Gerade auf einem Kreis des Umfanges 1 auf, so fragt sich, ob die Punkte auf dem Kreis ``überall gleich dicht'' liegen. Ist \(f(x)\) eine im Riemannschen Sinne integrierbare Funktion der Periode 1, so ist, falls die \(\alpha\) gleich dicht liegen \[ \lim_{n\to\infty} \frac {1}{n}\sum_{h=1}^{n} f(\alpha_h)=\int_0^1 f(x)\,dx. \] Nimmt man für \(f(x)\colon e^{2\pi imx}=e(mx)\), so ergibt sich als notwendiges und hinreichendes Kriterium dafür, daß die \(\alpha\) gleich dicht liegen, die Tatsache, daß für jedes ganze rationale \(m\neq 0\) die Limesgleichung: \[ \sum_{h=1}^n e(m\alpha_h)=o(n) \] erfüllt sein muß. Daraus folgt, daß z. B. \(\xi, 2\xi, 3\xi, \dots, n\xi, \dots\) überall gleich dicht (mod 1) sind, falls \(\xi\) eine irrationale Zahl bedeutet. Diese Sätze und Kriterien lassen ohne weiteres auf einen \(p\)-dimensionalen Raum übertragen. Das Resultat, daß die Punkte \[ (n\xi_1, n\xi_2, \dots, n\xi_p)\;n=1, 2, 3, \dots \] überall dicht mod 1 liegen, falls zwischen den \(\xi\) keine linear ganzzahlige Relation besteht, wird vom Verf. auch für die Verweilszeit eines mit konstanter Geschwindigkeit auf einer Geraden sich bewegenden Punktes formuliert, sowie in einigen anderen Arten. Ganz entsprechend werden die Resultate, wenn man, statt die \(x_i\) linear von der Zeit \(t\) abhängen zu lassen, setzt \[ x_i=\varphi_i(t)\;(i=1, 2, \dots, p), \] wo die \(\varphi_i(t)\) beliebige Polynome von wenigstens zweitem Grade sind. Nimmt man dagegen statt des kontinuierlichen Parameters \(t\) einen diskreten Parameter \(n\), der die natürlichen Zahlen durchläuft, so entstehen neue Schwierigkeiten. Der Verf. beweist: Ist in einem Polynom \(q\)-ten Grades \[ \varphi(z)=\alpha_qz^q+\alpha_{q-1}z^{q-1}+\cdots\alpha_0 \] mindestens einer der Koeffizienten \(\alpha_q, \alpha_{q-1}, \dots, \alpha_1\) irrational, so gilt die Limesgleichung \[ \sum_{h=0}^n e(\varphi(h))=o(n). \] Somit liegen die Zahlen \(\varphi(1), \varphi(2), \dots,\) (z. B. \(1^2\xi, 2^2\xi, 3^3\xi, \dots\)) (mod 1) überall gleich dicht, wenn nicht alle Koeffizienten von \(\varphi(z)-\alpha_0\) rational sind. Die gleichen Sätze gelten, wieder für den \(p\)-dimensionalen Raum mod 1. Der Ausnahmefall, der eintritt, falls zwischen den \(p\) Polynomen eine ganzzahlige Relation besteht: \[ \varphi(z)=m_1\varphi_1(z)+m_2\varphi_2(z)+\cdots+m_p\varphi_p(z), \] so daß \(\varphi(z)\) mit Ausnahme des konstanten Gliedes \textit{rationale} Koeffizienten hat, wird vom Verf. einer besonderen Untersuchung unterworfen. (Vgl. die mit der vorliegenden Arbeit in Zusammenhang stehenden Arbeiten von \textit{G. H. Hardy} und \textit{J. E. Littlewood} [Acta Math. 37, 155--191 (1914), 37, 193--239 (1914); JFM 45.0305.03]. Im Anhang wird ein Satz über diskontinuierliche Gruppen in ``geschlossenen Euklidischen Räumen'' bewiesen.