Zahlentheoretisches und Wahrscheinlichkeitstheoretisches über die Sichtweite im Walde. (Q1470376)

I. Um jeden Punkt eines regulären quadratischen Gitters lege man einen Kreis von Radius \(\varrho\), mit Ausnahme eines einzigen Punktes, den man als Aussichtspunkt auffast. Unter allen Strecken, die man vom Aussichtspunkt aus bis zum Rand eines nächsten \(\varrho\)-Kreises ziehen kann, sei \(s\) die längste (die maximale Sichtweite). Der Verf. beweist, daß \(\lim_{\varrho_0}\varrho s=a^2\) ist, wenn der Abstand von zwei nächstbenachbarten Gitterpunkten \(=a\) ist. Der Verf. wurde auf das Problem durch \textit{A. Speiser} aufmerksam gemacht. II. Auf eine Fläche von der Ausdehnung \(na^2\) werden \(n\) Papierscheibchen vom Radius \(\varrho\) (Konfetti) gestreut. Von einem \textit{unbedeckten} Punkte aus wird eine Strecke von der Länge \(x\) gezogen. Die Wahrscheinlichkeit, daß diese Strecke unbedeckt ist, ist für großes \(n\) im Grenzwert \(=e^{-\frac{2\varrho x}{a^2}}\). Als mittlere Sichtweite (vgl. mittlere Weglänge der Gestheorie) ergibt sich \[ \int_0^{\infty} x\cdot de^{-\frac{2\varrho x}{a^2}}= \frac{a^2}{2\varrho}. \]