Beiträge zu \textit{Carathéodorys} Meßbarkeitstheorie. (Q1470386)

\textit{C. Carathéodory} (Gött. Nachr. 1914, 404; Vorlesungen über reelle Funktionen, 229, 359, 1918; F. d. M. d. Bd. S. 376) hat eine allgemeine Meßbarkeitstheorie aufgestellt, indem er das reguläre äußere Maß \(\mu^*A\) als eine Mengenfunktion aller Punktmengen \(A\) mittels fünf grundlegender Eigenschaften definiert; zugleich zeichnet er gewisse Mengen, die noch einer besonderen Bedingung genügen, als (für \(\mu^*\)) meßbar aus. Mit deren Hilfe definiert er dann nachträglich für jede Punktmenge \(A\) ein inneres Maß \(\mu_*\) selbständig und unabhängig von den äußeren Maßen zu charakterisieren (so daß man dann auch umgekehrt, von \(\mu_*\) ausgehend, zu \(\mu^*\) gelangen kann). \textit{C. Carathéodory} konnte beweisen (vgl. Vorlesungen 364), daß jedenfalls das System von fünf Eigenschaften, welches im wesentlichen symmetrisch zum Definitionssystem der äußeren Maße ist, nicht hinreicht, um die inneren Maße \(\mu_*\) selbständig zu definieren. Der Verf. zeigt nun, daß unter Zuhilfenahme einer weiteren (6.) grundlegenden Eigenschaft eine selbständige Begründung der Theorie der inneren Maße möglich ist, und führt diese durch (\S\,1-3). Das Definitionssystem der \(\mu_*\) und das entsprechende Definitionssystem der \(\mu^*\) wird dann soweit, als es überhaupt möglich ist, reduziert, derart, daß in beiden Definitionssystemen jeder Teil von allen übrigen unabhängig ist (\S\, 4 u. 5). Schließlich (\S\,6) wird noch gezeigt, daß zwei Formen der \textit{Carathéodory}schen Meßbarkeitsdefinition, die für \(\mu^*\) völlig gleichwertig sind, im Definitionssystem der \(\mu_*\) sich wesentlich verschieden verhalten.