Über das Flächenmaß von Punktmengen. (Q1470387)

Diese Arbeit, die (ebenso wie die nachfolgende) \textit{J. Radon} aus dem Nachlaß des leider alllzu früh Verstorbenden herausgegeben hat, untersucht, ausgehend von der \textit{Carathéodory}schen Maßtheorie, eingehend verschiedene Definitionen des ``Flächenmaßes'' von Punktmengen, d. h. des zweidimensionalen (äußeren) Maßes der Punktmengen \(A\) des dreidimensionalen Raumes. (Vgl. auch \textit{W. Groß}, Monats. f. Math. 28, 79, 1917.) Den von \textit{C. Carathéodory} aufgestellten Forderungen für das äußere Maß fügt der Verf. für seine Zwecke noch andere plausible Bedingungen hinzu, unter denen weiterhin die folgende eine besondere Rolle spielt: XI. Ist \(P(A)\) das äußere \textit{Lebesgue}sche Maß der Orthogonalprojektion von \(A\) auf irgendeine Ebene, so ist stets das Flächenmaß von \(A\geqq P(A)\). Die \textit{Lebesgue}sche ``Flächenzahl'' (vgl. hierüber F. d. M. 33, 307 (JFM 33.0307.*), 1902; 39, 359, 1908), die auf Approximation stetiger Flächen durch Polyeder beruht und den Charakter eines inneren Inhalts besitzt, erfüllt XI nicht. Der Verf. zeigt nun, daß es unter allen \textit{Carathéodory}schen (nicht notwendig ``regulären'') äußeren (Flächen-) Maßen, welche die Bedingung XI erfüllen, ein ``kleinstes Flächenmaß'' \(\Phi_0^*\) gibt, derart, daß alle anderen derartigen Flächemaße für jede Menge \(A\) Werte \(\geqq \varPsi_0^*(A)\) annehmen. Dieses \(\varPsi_0^*(A)\) läßt sich folgendermaßen gewinnen: Mittels einer Zerlegung des Raumes in kongruente Würfel wird \(A\) in endlich oder abzählbar viele elementfremde Mengen \(A_i\) zerspaltet; für jede Richtung wird das äußere \textit{Lebesgue}sche Maß der Orthogonalprojektion von \(A_i\) bestimmt; die obere Grenze dieser Maßzahlen für alle möglichen Richtungen (die ``Maximalprojektion'' von \(A_i\)) bezeichnet der Verf. mit \(\Pi A_i\). Er bildet nun die \(\sum_i \Pi A_i\) und definiert den Grenzwert dieser Summe für immer feinere Würfelteilungen als \(\Phi_0^*(A)\). Nun hat zwar \(\Phi_0^*(A)\) die wesentlichen der vom Flächenmaß zu foldernden Eigenschaften; aber es bleibt unentschieden, ob es ein ``\textit{reguläres}'' äußeres Maß ist. Doch kann der Verf. jedenfalls von \(\Phi_0^*\) aus zu einem wiederum ausgezeichneten ``regulären'' äußeren Flächenmaß \(\Phi_{00}^*\) gelangen. Weiterhin vergleicht der Verf. \(\Phi_0^*\) (bzw. \(\Phi_{00}^*\)) mit dem von \textit{C. Carathéodory} definierten Flächenmaße \(\Phi_C^*\) und mit einem unter Benutzung des \textit{Minkowski}schen Flächeninhalts ähnlich wie in der nachstehenden Arbeit definierten Flächenmaß \(\Phi_M^*\). Durch Betrachtung von Beispielen perfekter Mengen (die allerdings nur für den liearen Fall durchdiskutiert werden) zeigt der Verf., daß die verschieden definierten Flächenmaß keineswegs übereinstimmen.