Sur une extension de la notion de densité des ensembles. (Q1470403)

Der Verf. dehnt den Begriff der ``Dichte'' auf beliebige, auch nicht meßbare, Mengen aus. Sei \(E\) eine solche, \(E_{a, b}\) ihr Durchschnitt mit dem Intervall \((a, b)\). Wenn dann \(\overline m\) das äußere Maß bezeichnet, so heißt der Grenzwert \[ \lim_{\varepsilon=0} \frac{1}{2\varepsilon} \overline m(E_{x-\varepsilon, x+\varepsilon}), \] wenn er vorhanden ist, die ``äußere Dichte'' der Menge \(E\) im Punkte \(x\). Dann gilt der Satz: Die Punkte, wo die äußere Dichte einer Menge \(E\) den Wert 1 hat, bilden eine meßbare Menge \(G\), deren Maß gleich \(\overline m(E)\) ist. Die Punkte von \(E\), die nicht zu \(G\) gehören, bilden eine Menge vom Maße Null.