L'axiome de \textit{M. Zermelo} et son rôle dans la théorie des ensembles et de l'analyse. (Q1470406)

Das zuerst 1904 von \textit{Zermelo} (Math. Ann. 59) formulierte Auswahlpostulat spielt eine hervorragende Rolle in der heutigen Analysis. Es ist daher wichtig, sich darüber Rechenschaft zu geben, in welchen Beweisen dieses Postulat auftritt. Der Verf. untersucht diesbezüglich eine Reihe von Sätzen, zu deren Beweise das Postulat notwendig ist, und gibt denjenigen Spezialfall des Postulats an, der zum Beweise hinreicht. Andererseits teilt er eine Reihe von Sätzen mit, die ohne dieses Postulat bewiesen werden können. Die Untersuchungen zerfallen in die folgenden Teile: I. Das Auswahlaxiom in den Beweisen der Äquivalenz der verschiedenen Definitionen unendlicher Mengen. II. In der Theorie der Kardinalzahlen. III. In der Theorie der geordneten Mengen und der transfiniten Zahlen. IV. In der Punktmengentheorie. V. In der Maßtheorie. VI. In der Analysis. VII. In der Konstruktion von Beispielen. VIII. Probleme, die die Existenz nicht meßbarer Funktionen implizieren. IX. Das allgemeine Auswahlprinzip. Dependente Auswahlen. In I. findet man interessante Untersuchungen über die Äquivalenz der verschiedenen Definitionen endlicher, unendlicher, abzählbarer Mengen etc. Im II. Teile wird u. a. gezeigt, daß man, ohne das Auswahlpostulat zu benutzen, das Kontinuum in \(\kappa_1\) nicht leere Mengen teilen kann. Es wird auch das Verhältnis des Auswahlpostulates zum Trichotomiesatz betrachtet. Im IV. Teile wird auf die Verschiedenheit der Definitionen des Grenzpunktes einer Folge und des Häufungspunktes einer Menge hingewiesen und die Mengentheorie diesbezüglich mit Rücksicht auf das Postulat studiert. Der V. Teil enthält eine Untersuchung der Fundamentalsätze der \textit{Lebesgue}schen Maßtheorie. Im VI. Teile wird die Äquivalenz der \textit{Baire}schen Funktionenklassen und der analytisch darstellbaren Funktionen von \textit{Lebesgue} studiert. Im VII. Teile werden mit Hilfe des Auswahlpostulats Beispiele konstruiert, u. a. das Beispiel einer meßbaren Funktion, die keine analytisch darstellbare Funktion zur Majorante hat. Im VIII. Teile werden Probleme betrachtet, die nach Annahme der Existenz nicht-meßbarer Funktionen gelöst werden können. Endlich wird im IX. Teile gezeigt, wie das allgemeine Auswahlpostulat von \textit{Zermelo} aus dem gewöhnlichen Postulat folgt, sowie mit Hilfe abhängiger Auswahlen das Kontinuum in eine nichtabzählbare Menge nicht meßbarer Mengen geteilt. (IV 3 C.)