Sur un ensemble non mesurable. (Q1470411)

Mit Hilfe des Auswahlaxioms wird eine nicht meßbare Punktmenge \(E\) konstruiert, die folgende Eigenschaften hat: 1. Das äußere Maß des Durchschnittes von \(E\) mit einem beliebigen Intervall ist gleich der Länge dieses Intervalles; 2. die Gesamtheit der Punkte läßt sich in eine abzählbare Anzahl von Punktmengen \(E_i\) zerlegen, derart, daß \(E_i\) und \(E_k(i\neq k; i, k=1, 2, 3, \dots)\) keinen gemeinsamen Punkt haben, und daß jede Punktmenge \(E_i\) aus \(E\) durch eine Verschiebung entsteht. Wir teilen (\textit{G. Vitali}, Sul problema della misura dei gruppi di punti di una retta; Bologna 1905, 5 S.) die reellen Zahlen in Klassen ein derart, daß zwei beliebige Zahlen dann und nur dann zu derselben Klasse gehören, wenn ihre Differenz rational ist. Wir wählen in jeder Klasse eine Zahl: \(M\) bezeichne die ausgewählte Menge. Verstehen wir allgemein unter \(M(r)\) diejenige Menge, die aus der Menge \(M\) durch die Verschiebung \(r\) entsteht, so ist \[ E=\sum_{n=1}^{\infty}\sum_{k=-\infty}^{+\infty} M\left( \frac{k}{2^n}\right) \] die gesuchte Menge. Sie gehört zur zweiten Kategorie in Sinne \textit{Baires}.