Theory of continuous set of points. (Q1470422)

Diese umfangreiche Arbeit ist der Untersuchung der stetigen (d. h. zusammenhängenden und perfekten) Punktmengen des \(n\)- dimensionalen Kontinuums und ihrer Klassifikation gewidmet. Die Untersuchungsmethode ist rein deskriptiver Art und macht keinen Gebrauch von der Analysis. Grundlegend für die ganze Untersuchung sind die sogenannten Hauptpunkte der Menge, die folgendermaßen definiert sind: Wenn \(A\) und \(B\) zwei verschiedene Punkte der stetigen Menge sind, und wenn keine echte stetige Teilmenge \(A\) und \(B\) enthält, so bilden \(A\) und \(B\) ein Hauptpunktepaar. Es ist unmöglich, auf die Resultate dieser Arbeit hier näher einzugehen. Wir beschränken uns den Inhalt anzugeben. Kapitel I. Stetige Punktmengen mit Hauptpunkten. \textit{Erster Teil.} Hauptpunkte. Fundamentaleigenschaften der stetigen Punktmengen mit Hauptpunkten. Klassifikation der stetigen Punktmengen. Mengen erster Art. Mengen zweiter Art. Mengen dritter Art. Singuläre stetige Punktmengen und ihre besonderen Eigenschaften. Halbsinguläre Punktmengen. Gewöhnliche Punktmengen. \textit{Zweiter Teil.} Einfache Hauptpunkte. Zusammengesetzte Hauptpunkte. Punkte, die keine Hauptpunkte sind. Eigenschaften und Beziehungen dieser Punkte. Klassifikation der stetigen Punktmengen mit Hilfe dieser Eigenschaften und Beziehungen. Verteilung der Punkte dieser drei Arten in einer stetigen Punktmenge. Struktur der gewöhnlichen, der singulären und der halbsingulären Mengen. \textit{Dritter Teil.} Zerlegung der stetigen Punktmengen. Nichttrennende Punkte. Perfekttrennende Punkte. Imperfekttrennende Punkte. Eigenschaften dieser Punkte und ihre Beziehungen zu den Hauptpunkten. \textit{Vierter Teil.} Einfache stetige Punktmengen. Ihre Eigenschaften. \textit{Fünfter Teil.} Verschiedene Sätze. \textit{Sechster Teil.} \textit{Jordan}sche Kurven (offene und geschlossene). Sechs Definitionen der offenen \textit{Jordan}schen Kurve. Drei Definitionen der geschlossenen \textit{Jordan}schen Kurve. Pseudo- \textit{Jordan}sche Kurven. -- Kapitel II. Stetige Punktmengen mit Hauptpunkten \(n\)-ter Ordnung. \textit{Erster Teil.} Hauptpunkte zweiter Ordnung. Eigenschaften der stetigen Punktmengen mit Hauptpunkten zweiter Ordnung. Stetige Punktmenge, die ein System von drei Punkten besitzt, welche zu je zweien ein Paar von Hauptpunkten zweiter Ordnung sind. Vergleich der stetigen Punktmengen, die Hauptpunkte zweiter Ordnung haben mit denjenigen, die Hauptpunkte erster Ordnung haben. Stetige Menge, die aus den zwei Komponenten \(M_1(A, B)\) und \(M_2(A, B)\) besteht, und die mehr als zwei Komponenten hat, welche \((A, B)\) als ein Hauptpunktepaar besitzen. \textit{Zweiter Teil.} Hauptpunkte dritter Ordnung. Eigenschaften der stetigen Mengen mit Hauptpunkten dritter Ordnung. Halb-Hauptpunkte. Perfekte Hauptpunkte. \textit{Dritter Teil.} Hauptpunkte \(n\)-te Ordnung. Eigenschaften der stetigen Mengen mit Hauptpunkten \(n\)-ter Ordnung. Hauptpunkte unendlicher Ordnung. Stetige Punktmengen \(n\)-ter Ordnung. Stetige Punktmengen \(n\)-ten Grades. Klassifikation der stetigen Punktmengen. Klassifikationstafel. \textit{Vierter Teil.} Definition des Endpunktes. Seine Beziehung zum Hauptpunkt; seine Eigenschaften. Pseudo-Endpunkt. Kapitel III. Stetige Kurvenmengen. Definitionen und Grundsätze. Beziehungen zwischen Kurvenmenge und Punktmenge. Eigenschaften der stetigen Kurvenmenge. Klassifikation der stetigen Kurvenmengen. Oberflächen. Drei Oberflächenarten. Kapitel IV. Stetige Oberflächenmenge. Stetige Menge \(r\)-dimensionaler einfacher Figuren im \(n\)-dimensionalem Kontinuum.