On the consistency and equivalence of certain definitions of summability. (Q1470465)

Bezeichnet \(M\) die Transformation, die zu jeder Zahlenfolge \(x_1,x_2,x_3,\dots\) die arithmetischen Mittel \(x_1\frac{x_1+x_2}{2},\dots\) liefert, und daher \(M^k\) die Transformation, welche die iterierten arithmetischen Mittel (\textit{Hölder}sche Mittel) liefert, so betrachten die Verfasser Transformationen der Form \[ f(M)=a_0E+a_1M+a_2M^2+\cdots, \] wo \(E\) die Identität bedeutet. Eine solche Transformation heißt regulär, wenn sie jede konvergente Folge wieder in eine konvergente mit dem gleichen Grenzwert überführt. Unter den sehr bemerkenswerten Sätzen seien die zwei folgenden hervorgehoben: 1. \(f(M)\) ist regulär, wenn die Funktion \(f(z)\) in und auf dem Kreis \(C\) vom Radius \(\frac 12\) um den Mittelpunkt \(\frac 12\) analytisch, und \(f(1)=1\) ist. 2. Erfüllen die Funktionen \(f(z),g(z)\) die Bedingungen von 1, so sind die Transformationen \(f(M),g(M)\) dann und nur dann äquivalent, wenn \(f(z),g(z)\) in \(C\) die gleichen Nullstellen mit jeweils gleichen Ordnungen haben. Hieraus ergibt sich als Anwendung insbesondere ein neuer Beweis für die Äquivalenz der \textit{Hölder}schen und \textit{Cesàro}schen Mittel.