Sur certains critères de convergence. (Q1470477)

Es handelt sich um einige ziemlich an der Oberfläche liegende Kriterien für die Konvergenz von Reihen der Form \(\sum | c_{n+1}-c_n| \), die bei den sich auf Reihen der Form \(\sum c_nu_n\) beziehenden Kriterien von \textit{Abel, Dirichlet, Dedekind}, usw. auftreten. Ihre Formulierung und Handhabung wird aber dadurch beachtenswert, daß\ der Begriff einer (reellen) \textit{Zahlenfolge von beschränkter Schwankung} eingeführt wird: Die reelle Folge \((x_n)\) heißt von beschränkter Schwankung, wenn \(\sum| x_{n+1}-x_{n}\) konvergiert. -- Unter den Kriterien sei das folgende genannt, in dem \(c_n=\varrho_ne^{i\vartheta_n}\) gesetzt und \(\vartheta_n\) so abzuändern ist, daß\ stets \(| \vartheta_{n+1}-\vartheta_n|\leqq \pi\) bleibt: ``\(\sum| c_{n+1}-c_n|\) ist dann und nur dann konvergent, wenn die Folge \((\rho_n)\) von beschränkter Schwankung ist und \(\sum \varrho_n| \vartheta_{n+1}-\vartheta_n| \) konvergiert''. (IV 4).