L'aire des surfaces de révolution. (Q1470620)

Es wird der folgende Satz bewiesen: Ist \(P\) die Oberfläche der durch Rotation des Bogens \(s\) um die \(x\)-Achse erzeugten Rotationsfläche, und ist \(A\) der Inhalt des von der Abszissenachse, von \(s\) und den beiden Endordinaten begrenzten Ebenenstückes, ist endlich \(B\) im Falle, wo \(s\) monoton in bezug auf die \(x\)-Achse verläuft, der absolute Betrag der halben Differenz der Quadrate der Endordinaten oder im allgemeineren Falle eines abteilungsweise monotonen \(s\) die Summe der absolut genommenen halben Differenzen der Quadrate der Ordinaten an den sukzessiven Extremen der Kurve \(s\), so ist \[ P=2\pi\vartheta(A+B), \] wo \(\frac{1}{\sqrt 2}\leqq\vartheta\leqq 1\) ist. Die Grenzen werden erreicht bzw. durch einen Rotationskegel, dessen Erzeugende gegen die Achse den Winkel \(\frac \pi4\) bildet, und durch den Kreiszylinder.