A general form of integral. (Q1470667)

Der Verf. gibt hier eine allgemeine, von der Natur der benutzten Elemente unabhängige, Theorie des Integrales. Er geht von einer Menge von Elementen \(p\) aus und betrachtet reelle Funktionen \(f(p)\) dieser Elemente, die auch unendlich sein können. \(f(p)\) heißt die logische Summe von \(f_1(p)\) und \(f_2(p)\), wenn es für jedes \(p\) gleich dem größten der Werte \(f_1(p),f_2(p)\) ist. \(f(p)\) heißt das logische Produkt von \(f_1(p)\) und \(f_2(p)\), wenn es gleich der kleinsten der beiden Zahlen \(f_1(p)\) und \(f_2(p)\) ist. Es sei \(T_0\) eine in bezug auf folgende Operationen invariante Funktionenklasse: Multiplikation durch eine Konstante \((C)\), Addition \((A)\), logische Addition \((G)\), logische Multiplikation \((G')\). Ferner nehmen wir an, daß\ jede Funktion \(f(p)\) von \(T_0\) beschränkt ist. Sind nun \(f,f_1,f_2,\dots\), Funktionen der Klasse \(T_0\) und ist \(U(f)\) eine Funktionaloperation, so bezeichnet der Verf. als Eigenschaften von \((C),(A),(L),(P),(M)\) bzw. folgende Eigenschaften von \(U:(C):U(cf)=cU(f),\;c\) konstant; \((A):U(f_1+f_2)=U(f_1)+U(f2);(L)\): Wenn \(f_1(p)\geqq f_2(p)\geqq\cdots\geqq f_n(p)\geqq\cdots\) und wenn \(\lim_{n=\infty}f_n(p)=0\) für jedes Element \(P\), so ist \(\lim_{n=\infty}U(f_n)=0;(P)\): Wenn \(f(p)\geqq 0\) für alle \(p\), ist \(U(f)\geqq 0;(M)\): Für alle Funktionen des Typus \(| f| \) (wo \(f\) zu \(T_0\) gehört) existiert eine solche Funktionaloperation \(M(\Phi)\), daß\ wenn \(\Phi\leqq\psi, M(\Phi)\leqq M(\psi)\) und daß\ \(| U(f)| \leqq M(| f| )\). Als \(I\)-Integral (\(I\)=inferior) bezeichnet dann der Verf. jede Funktionaloperation, die den Bedingungen \((C),(A),(L),(P)\) genügt; als \(S\)-Integral (\(S\)=superior) eine Funktionaloperation, die den Bedingungen \((C),(A),(L),(M)\) genügt. Es existieren für diese allgemeinen \(I\)- und \(S\)- Integrale Sätze, die analog den bekannten Integralsätzen sind. Die Definition der Hauptintegrale läßt sich auf die Funktionenklasse \(T_1\) der Limesfunktionen monoton wachsender Funktionen von \(T_0\) ausdehnen; daran knüpft sich der Begriff der Summierbarkeit einer Funktion von \(T_1\) und die Beziehung zwischen \(I\) und \(S\)-Integralen.