Über die impliziten Funktionen. (Q1470676)

Es wird ein neuer Beweis für den Existenzsatz der impliziten Funktionen unter allgemeineren und angemesseneren Voraussetzungen gegeben als sonst üblich. Es seien \(n\) reelle Funktionen \(f_i(x;y)\) der \(m\) Veränderlichen \(x\) und der \(n\) Veränderlichen \(y\) in einer Umgebung von \((x^0,y^0)\) stetig und \(f_i(x^0,y^0)=0\); ferner sollen die Funktionen \(f_i(x^0;y)\) an der Stelle \(y^0\) differentiierbar sein, das heißt eine Darstellung gestatten: \[ f_i(x^0,y)=\sum A_{ij}(y_j-y_j^0)+\varepsilon_i(y)r\;(r^2=\sum (y_j-y_j^0)^2\text{ und }\lim_{r\to 0} \varepsilon_i(y)=0), \] wobei die \(A_{ij}\) Konstante sind, deren Determinante von Null verschieden ist. Unter diesen Voraussetzungen läßt sich eine Umgebung von \(x^0\) finden, für deren Punkte \(x\) die Gleichungen \(f_i(x;y)=0\) durch Wertsysteme \(y\) befriedigt werden können. Es gibt auch an der Stelle \(x^0\) stetige Lösungen. Durch Einführung weiterer Voraussetzungen kann man Eindeutigkeit und weitere Eigenschaften der Lösung erzwingen. Der Beweis beruht auf folgendem topologischen Hilfssatz, dessen Begründung freilich etwas mühsam ist: werden je zwei gegenüberliegende Seitenflächen eines \(n\)-dimensionalen Würfels durch \(n\) abgeschlossene Mengen im Innern dieses Würfels getrennt (so daß\ jeder Verbindungsweg sie treffen muß), so haben diese \(n\) Mengen mindestens einen Punkt gemein.