Notes on some points in the integral calculus XLII. (On \textit{Weierstrass}'s singular integral, and on a theorem of \textit{Lerch}.). (Q1470691)

Der von \textit{Weierstraß} und von anderen (\textit{Hobson}, Lond. M. S. Proc. (2) 6, 367; F. d. M. 39, 476 (JFM 39.0476.*), 1908; \textit{Lebesgue}, Toulouse Ann. (3) 1, 90; F. d. M. 41, 327 (JFM 41.0327.*), 1910) diskutierte Grenzwertsatz \[ (*)\quad\lim_{\alpha=0}\frac{1}{\sqrt{\pi a}}\int_{- \infty}^\infty e^{-\frac{(x-\xi)^2}{\alpha}}f(x)dx=f(\xi) \] wird hier von neuem betrachtet und unter folgenden Bedingungen bewiesen: 1. \(x,\alpha\) und \(f(x)\) sind reell, 2. \(f(x)\) ist summabel in jedem endlichen Intervalle, \[ 3.\quad \int_{-\infty}^\infty e^{-Ax^2f(x)dx} \] ist konvergent für irgend ein \(A\). Dann gilt (*) für fast alle \(\xi\) und insbesondere für solche, bei welchen \(f(\xi)\) stetig ist. Der Grenzwert linker Hand ist ferner gleich \[ \frac{f(\xi+0)+f(\xi-0)}{2} \] überall, wo dieser Ausdruck einen wohlbestimmten Sinn hat. Es werden auch Anwendungen angedeutet.