Notes on some points in the integral calculus. XLIII. (On the asymptotic value of a definite integral, and the coefficient in a power series.). (Q1470692)

Mit Hilfe einer vielfach angewandten Methode hat der Verf. die asymptotische Formel von \[ J(p)=\int_0^\infty e^{-x^r+rax}x^pdx \] für große Werte von \(p>0\) berechnet, wobei \(r>1\) und \(a>0\) ist. Es ergab sich \[ J(p)\sim\sqrt{\frac{2\pi}{rp}}(\frac pr)^{\frac 1r}\exp\left\{ \frac pr\log\frac pr-\frac pr+ra(\frac pr)^{\frac 1r}\right\} \] für \(r>2\) und \[ J(p)\sim\sqrt{\frac\pi 2}\exp\left\{\frac p2\log\frac p2- \frac p2+2a\sqrt{\frac p2}+\frac{a^2}{2}\right\} \] für \(r=2\). Es ist ferner für jedes \(r>1\) \[ J(p)=\exp\left\{\frac pr\log\frac pr-\frac pr+ra(\frac pr)^{\frac 1r}+o(p^{\frac 1r})\right\}. \] Als Anwendung wird ein asymptotischer Ausdruck für die Koeffizienten \(A_p\) der Potenzreihe \[ f(z)=\frac{1}{(1-z)^\alpha}\exp\left\{\frac{c}{(1- z)^q}\right\}=\sum_{p=0}^\infty A_pz^p \] hergeleitet; hierbei sind \(\alpha,c,q\) reell und die beiden letzten postiv. (Vgl. \textit{Fejér}, C. R. 147, 1040; F. d. M. 39, 499 (JFM 39.0499.*), 1908.) Ferner wird die Frage nach der asymptotischen Formen von \(A_p\) bei komplexem \(c\) aufgeworfen. Der Verf. begnügt sich mit einer Andeutung des Beweisganges.