Note on some points in the integral calculus. XLVI. XLVII. (On \textit{Stieltjes}' ``problème des moments''.). (Q1470695)

Das Momentenproblem \[ (1)\quad \int_0^\infty x^nf(x)dx=c_n\quad (n=0,1,2,\dots) \] ist bekanntlich eindeutig, wenn bloß\ solche Lösungen \(f(x)\) zugelassen werden, für welche \[ (2)\quad | f(x)| <e^{-k\sqrt x}\;(k>0) \] ist. Die Integralformel \[ (3)\quad \int_0^\infty e^{- x\mu\cos\alpha}\sin(x^\mu\sin\alpha)x^ndx=\frac 1\mu\Gamma(\frac{n+1}{\mu})\sin\frac{(n+1)\alpha}{\mu} \] \[ \left(\mu>0,0<\alpha<\frac\pi 2\right) \] legt unmittelbar nahe, daß\ (2) nicht durch eine Bedingung von der Form \[ (2')\quad | f(x)| <e^{-kx^\mu}\;(\mu<\frac 12) \] ersetzt werden kann. (Die Formel (3) war höchstwahrscheinlich schon \textit{Stieltjes} bekannt. -- Bem. des Verf.) Der Verf. setzt nun voraus, daß\ \[ (4)\quad \int_0^\infty | f(x)| e^{k\sqrt x}dx\text{ konvergiert }(k>0), \] und gibt dann für die (eindeutig bestimmte) Lösung \(f(x)\) die folgende Darstellung. Man setze \[ F(s)=\sum_{n=0}^\infty\frac{c_n(-s)^n}{(2n)!},\;\kappa(u)=\frac 1u\int_0^\infty e^{-t}F(\frac{t^2}{u})dt, \] dann ist \[ f(x)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\varepsilon=0}[\kappa(-x- i\varepsilon)-\kappa(-x+i\varepsilon)] \] für fast alle \(x\). Ähnlich läßt sich das folgende Theorem herleiten, welches auch ein gewisses Interesse verdient. Es sei \(f(x)\) eine solche Lösung, für welche \[ \int_0^\infty | f(x)| e^{kx^\alpha}dx\text{ konvergiert }(k>0,\alpha>\frac 12), \] dann hat man für fast alle \(x\) \[ f(x)=\frac{1}{2\pi i}\lim_{\varepsilon=0}[\kappa(-x- i\varepsilon)-\kappa(-x+i\varepsilon)], \] wobei \[ \kappa(u)=\frac 1u\int_0^\infty e^{- t}F(\frac{t^\beta}{u})dt,\;F(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{c_n(- s)^n}{\Gamma(\beta n+1)}\;(\beta=\frac 1\alpha) \] ist. In der zweiten Note wird eine \textit{Le Roy}sche Formel (Toulouse Ann. (2) 2, 317, 1900) folgendermaßen präzisiert: Eine Lösung \(f(x)\) mit der Eigenschaft (4) läßt sich für fast alle \(x\) folgendermaßen gewinnen: \[ f(x)=G\int_0^\infty J_0(2\sqrt{xy}) \Phi (y)dy; \] hierbei ist \[ \Phi(y)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nc_n}{n!^2}y^n \] und \[ G\int_0^\infty F(y)dy=\lim_{\delta=0}\int_0^\infty e^{-\delta y}F(y)dy\;(\delta>0). \] Es wird ohne Beweis angedeutet, daß\ unter derselben Bedingung auch die \textit{Cesàro}schen Mittel \[ \lim_{Y\to\infty}\frac 1Y\int_0^Y(Y- y)J_0(2\sqrt{xy})\Phi(y)dy=f(x) \] für fast alle \(x\) konvergieren. In den speziellen Fällen, wo die Lösung \(f(x)\) Bedingungen unterworfen ist, die enger einschränkend sind, als (4), kann sie eventuell auch andere Darstellungen besitzen. Ist z. B. \[ \int_0^\infty | f(x)| e^{kx}dx\text{ konvergent }(k>0), \] dann ist für fast alle \(x\) \[ f(x)=\frac{1}{2\pi i}\overline G\int_{\kappa- i\infty}^{\kappa+i\infty}\varPsi(s)e^{xs}ds\quad (\kappa>- k); \] hierbei ist \[ \varPsi(s)=\sum_{n=0}^\infty \frac{(-1)^nc_n}{n!}s^n \] und \[ \overline G\int_{-\infty}^\infty F(y)dy=\lim_{\delta=0}\int_{- \infty}^\infty e^{-\delta y^2}F(y)dy\;(\delta>0). \] (In diesem Falle konvergieren gleichfalls die entsprechenden \textit{Cesàro}schen Mittel.) Weiterhin werden zwei Spezialfälle näher betrachtet; zum Schluß\ wird bemerkt, daß\ für \(f(x)>0\) die Bedingung (4) mit \[ c_n<(2n)!K^n\;(K>0) \] äquivalent ist.