On polynomials least deviating from zero in a given interval. With a preface by Serge Bernstein (Q1470707)

Die vorliegende Arbeit ist, abgesehen von unwesentlichen Modifikationen, die wortgetreue Übersetzung einer im Jahre 1892 russisch erschienenen Abhandlung, in welcher die \textit{Tschebyscheff}schen Ideen hauptsächlich zur Untersuchung von Polynomen angewandt werden. Nach Herleitung einiger an sich interessanter Hilfssätze wird der folgende Satz bewiesen, der als Verallgemeinerung eines bekannten \textit{Tschebyscheff}schen Satzes \((\kappa=n)\) anzusehen ist: Die Funktion \[ (1)\qquad C_{n,\kappa}\cos n\arccos x \] besitzt im Intervalle \(-1\leqq x\leqq 1\) das kleinstmögliche absolute Maximum unter allen Polynomen \(n\)-ten Grades, in welchen der Koeffizient von \(x^\kappa\) gleich 1 ist. Hierbei wird \(\kappa\equiv n\) (mod. 2) angenommen, es ist ferner \[ \begin{matrix} C_{n,\kappa}=\frac{(-1)^{\frac{n- \kappa}{2}}\left(\frac{n-\kappa}{2}\right)!}{2^{\kappa- 1}n\left(\frac{n+\kappa}{2}-1\right)\cdots(\kappa+1)}\text{ für }\kappa<n-2, \\ C_{n,n-2}=-\frac{1}{2^{n-3}n},\;C_{n,n}=\frac{1}{2^{n-1}}\cdot \end{matrix} \] Ist anderseits \(\kappa\not\equiv n\) (mod. 2), so ist (1) durch \[ (2)\quad \varGamma_{n.\kappa}\cos(n-1)\arccos x \] zu ersetzen, wobei \(\varGamma_{n,\kappa}=C_{n-1,\kappa}\) ist. Weiter werden Maximum-Aufgaben behandelt, die sich auf vorgegebene lineare Verbindungen der Koeffizienten von Polynomen \[ h(x)=p_0x^n+p_1x_{n-1}+\cdots+p_{n-1}x+p_n \] eines festen Grades \(n\) beziehen, die im Intervalle \(-1\leqq x<1\) absolut \(\leqq 1\) bleiben. Es ergibt sich z. B. \[ \begin{matrix} | p_{2i}| \leqq 2^{n-2i-1}\frac{n}{n-i}{n-i \choose i}, \\ | p_{2i+1}| \leqq 2^{n-2i-2}\frac{n-1}{n-i-1}{n-i-1 \choose i}\quad (i=0,1,\dots), \end{matrix} \] wobei sämtliche dieser Abschätzungen bestmöglich sind. Endlich folgt als zweifellos wichtigste Ergebnis der Arbeit der folgende Satz: Es sei ein \(n\)-ten Grades \(h(x)\) im Intervalle \(- 1\leqq x\leqq 1\) absolut genommen nicht größer als 1. Dann ist \[ | h^{(\kappa)}(x)| \leqq \frac{n^2(n^2-1^2)\cdots[n^2- (\kappa-1)^2]}{1\cdot 3\cdots (2\kappa-1)}\;(\kappa\leqq n). \] Die rechtsstehende Größe wird dann und nur dann erreicht, wenn \[ h(x)=\pm\cos n\arccos x \] gesetzt wird. Für \(n=1\) ist dieser Satz bereits van \textit{A. A. Markoff} bewiesen worden. (Über ein Problem von \textit{D. J. Mendelejeff}, Abh. d. Akad. Petersburg 62, 24 S. 1889). (II 3.)