Sur la meilleure approximation des fonctions d'une variable réelle par des expressions d'ordre donné. (Q1470709)

Der Verf. beweist einen Satz, der in dem besonders wichtigen und prägnanten Spezialfall \(p=n\) folgendermaßen lautet: Bedeutet \(S_k\) die \(k\)-te Partialsumme der \textit{Fourier}-Reihe einer stetigen, mod. \(2\pi\) periodischen Funktion \(f(x)\), und \(\rho\) das Maximum des Betrages für den Unterschied zwischen \(f(x)\) und der best-approximierenden trigonometrischen Summe \(n\)-ter Ordnung, so ist \[ \left| f-\frac{S_n+S_{n+1}+\cdots+S_{2n-1}}{n}\right| \leqq 4\rho. \] Eine hieraus abgeleitete Folgerung ergibt dann für die Funktion \(| \sin x| \) die Beziehung \[ \frac{1}{2\pi(2n+1)}\leqq\rho\leqq\frac{2}{\pi n}, \] und weiter gelangt man so, als auf dem zurzeit einfachsten Wege, zu dem bekannten Ergebnis von \textit{S. Bernstein} (Belg. Mém. (2) 4, 1912): Der Fehler der besten Approximation von \(| x| \) durch Polynome \(n\)-ter Ordnung ist von der Größenordnung \(\frac 1n\). (IV 3 D.)