Ein Satz uber das Vorzeichen einiger bestimmter Integrale und seine Anwendung auf ein Problem in der Elastizitätstheorie. (Q1470745)

Unter gewissen Voraussetzungen über die Funktionen \(F(s)\) und \(\varphi(s,t)\) und über die Konvergenz der im folgenden vorkommenden Integrale wird gezeigt, daß \[ U(f)=\int_0^\infty F(s)ds\int_0^\infty \varphi(s,t)f(t)dt>0; \] wofern \[ U(f_0)>0 \] für jede Funktion \(f_0(t)\) von der Art, daß\ \(f_0(t)=1\) für \(0\leqq a\leqq t\leqq b\) und \(f_0(t)=0\) für \(0\leqq t<a\) und \(b<t\) und wofern \(f(t)\) durch eine gleichmäßig konvergente monoton zunehmende Folge von positiven Treppenfunktionen approximiert werden kann. Dieser Satz wird angewandt auf das bei einem Problem der Elastizitätstheorie auftretende Integral \[ \varphi(r)=\int_0^\infty J_0(rs)ds\int_0^\infty tJ_0(st)f(t)dt, \] wo \(J_0\) die \textit{Bessel}sche Funktion nullter Ordnung und \(f(r)\) einen Flächendruck auf die Grenzebene eines den Halbraum ausfüllenden homogenen isotropen Körpers bezeichnet, wobei \(f(r)\) nur von der Entfernung \(r\) vom Nullpunkt abhängt; \(\varphi(r)\) ist die bewirkte normale Verschiebung (vgl. \textit{Lamb}, Lond. M. S. Proc. 34, 1902; \textit{Terezawa}, Tôkyo University Journal 37, 1916). Der Satz liefert auch ein entsprechendes Ergebnis über das Integral: \[ \int_0^\infty\frac{\sin(rs)}{s}ds\int_0^\infty f(t)\sin(st)dt. \] (VI 4 A.)