Bemerkungen zum Begriff des Differentialquotienten gebrochener Ordnung. (Q1470750)

Definiert man die \(\alpha\)-malige Integration einer Funktion \(f\) für beliebiges \(\alpha>0\) durch die Gleichung \[ J^\alpha f=\frac{1}{\Gamma(\alpha)}\int_0^x (x-\xi)^{\alpha- 1}f(\xi)d\xi, \] die \(\alpha\)-malige Differentiation durch die Umkehrung dieses Prozesses (\textit{Abel}sche Integralgleichung), so gilt der Satz: Ist \(f(x)\) \(\alpha\)-mal stetig differentiierbar, so genügt es einer \textit{Lipschitz}schen Bedingung, so ist es \(\beta\)-mal stetig differentiierbar, wenn \(\beta\) irgendein Exponent \(<\alpha\) ist. Für periodische Funktionen muß\ die Definition ein wenig abgeändert werden; dann schließt man aus diesem Satz: Genügt die Funktion \(f\) von der Periode 1 mit den \textit{Fourier}schen Koeffizienten \(c_n\) einer \textit{Lipschitz}schen Bedingung der Ordnung \(\alpha\) und ist \(\beta\) ein Exponent \(< \alpha\), so konvergiert \(\sum_n| n^\beta c_n| ^2\).