Some problems of diophantine approximation: A remarkable trigonometrical series. (Q1470774)

Kurze Mitteilung über verschiedene interessante Eigenschaften der Funktion \[ f(z)=\sum a_nz^n=\sum n^{\rho-\frac 12}e^{\alpha in\log n}z^n. \] Für \(\rho>0\) und passende \(\alpha\) hat \(f(z)\) genau die Ordnung \((1-r)^{-\rho}(r=| z| \to 1)\). Sie ist nicht über den Einheitskreis hinaus fortsetzbar. Der Unterschied der Ordnungen von \(f(z)\) und \(g(z)=\sum| a_n| z^n\) für \(r\to 1\) ist ferner genau \(\frac 12\), also so groß\ wie überhaupt möglich. (Quart. J. 44, 147, 45, 77; F. d. M. 44, 476 (JFM 44.0476.*), 1913, 45, 387, 1914-15). Die Summe \[ s_n=\sum_{k=1}^n k^{\rho-\frac 12}e^{\alpha ik\log k+2\Theta\pi ik} \] ist für \(\alpha>0\) genau von der Ordnung \(n^\rho\) und zwar gleichmäßig in \(\Theta\). Die Reihe \[ \sum n^{\rho-\frac 12}e^{\alpha in\log n+2\Theta\pi in} \] ist mit keinen \textit{Cesàro}schen Mitteln summabel. Ähnliches gilt bei \(\rho\geqq 0\) für die trigonometrische Reihe \[ \sum n^{\rho-\frac 12}\cos(\alpha n\log n+2\Theta\pi n), \] die also keine \textit{Fourier}-Reihe ist. Endlich: Die Funktion \[ \sum\frac{\sin(\alpha n\log n+2\Theta\pi n)}{n^\beta}\;\left(1<\beta\leqq\frac 32\right) \] ist stetig, besitzt aber für keinen Wert von \(\Theta\) eine endliche Ableitung. (IV 4.)