Vizsgálatok a \textit{Fourier}-sorokról. (Untersuchungen über \textit{Fourier}sche Reihen.). (Q1470792)

Eine unendliche Reihe mit den Teilsummen \(z_n\) heißt ``stark summabel'' mit der Summe \(\gamma\), wenn \[ \lim_{n=\infty}\frac{| \gamma-z_0| +| \gamma-z_1| +\cdots+| \gamma- z_n| }{n+1}=0 \] ist. Ein \textit{Hardy-Litllewood}schen Resultat (C. R. 156, 1307, 1913) läßt sich mit Benutzung dieser Ausdrucksweise folgendermaßen formulieren: Ist die Funktion \(f(x)\) in \((- \pi,\pi)\) samt ihrem Quadrat \((L)\)-integrabel, so ist ihre \textit{Fourier}-sche Reihe an jeder Stelle, wo \(\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\) existiert, stark summabel mit dieser Größe als Summe. Der Verf. gibt zunächst allgemeine Eigenschaften von stark summablen Reihen, z. B. den Satz, daß\ die Summe einer solchen Reihe, die bekanntlich stets Häufungsstelle ihrer Teilsummen ist, gewissermaßen die ``wahrscheinlichste'' unter denselben ist. Dann wird der oben erwähnte \textit{Hardy-Littlewood}sche Satz angewendet, um die folgende Erweiterung eines \textit{Fejér}schen Satzes zu ihrem Quadrat \((L)\)-integrabel, und ist \(x_1,x_2,\dots,x_k,\dots\) eine unendliche Folge von solchen Stellen \(x\), wo \(\frac{f(x+0)+f(x-0)}{2}\) existiert, dann läßt sich aus der Folge der Teilsummen der \textit{Fourier}schen Reihe von \(f(x)\) stets eine Teilfolge derart herausgreifen, daß\ sie an jeder Stelle \(x_k\) gegen \(\frac{f(x_k+0)+f(x_k-0)}{2}\) konvergiert. (IV 2.)