Niektóre własności szeregów trygonometrycznych i szeregów \textit{Fouriera}. (Einige Eigenschaften der trigonometrischen und der \textit{Fourier}-Reihen.). (Q1470802)

\textit{C. de la Vallée Poussin} hat allgemeine Sätze angegeben, in denen hinreichende Kriterien dafür aufgestellt werden, daß\ eine trigonometrische Reihe die \textit{Fourier}-Reihe einer im \textit{Lebesgue}schen Sinne summierbaren Funktion sei. Im Anschlusse daran zeigt der Verf., daß\ die Konvergenz der Reihe gegen eine überall positive Funktion gleichfalls ein hinreichendes Kriterium ist. Des weiteren wird bewiesen, daß\ die Menge der Punkte \(x\), in denen eine überall konvergente trigonometrische aber ein positives \textit{Lebesgue}sches Maß\ besitzt. Eine dritte zugleich notwendige und hinreichende Bedingung ist die folgende: Für die der arithmetischen Mittel der Partialsummen \[ S_n^{(1)}(x)=\frac{1}{n+1}\sum_{k=0}^nS_k(x),\;S_n=\sum_{k=0}^n(a_k\cos kx+b_k\sin kx) \] gilt \[ \lim_{n,n=\infty}\int_0^{2\pi}| S_m^{(1)}(x)- S_n^{(1)}(x)| dx=0. \] Interessant ist noch der folgende Satz; Wenn die Folge positiver Größen \[ \lambda_0,\lambda_1,\dots \] nicht-negative Differenzen erster und zweiter Ordnung besitzt, dann ist \(\sum_{n=0}^\infty \lambda_nA_n\) eine \textit{Fourier}-Reihe, wenn \(\sum_{n=0}^\infty A_n\) eine solche ist.