Über das Vorwiegen des ersten Koeffizienten in der \textit{Fourier}entwicklung einer konvexen Funktion. (Q1470805)

Der erste \textit{Fourier}-Koeffizient einer für \(0<x<1\) positiven konvexen Funktion, welche für \(0\leqq x\leqq 1\) die Entwicklung \[ f(z)\sim\sqrt 2\cdot\sum a_k\sin k\pi x\;(k=1,2,3\dots) \] hat und der Bedingung \(\int_0^1 \{f(x)\}^2dx=1\) unterworfen ist, genügt den Ungleichungen \(1\geqq a_1\geqq\frac{\sqrt 6}{\pi}=0,78\dots\). Die Gleichheitszeichen treten nur gleichungen für die Funktionen \(x\sqrt 3\) und \((1-x)\sqrt 3\) ein. Der Beweis ergibt sich aus Distanzschätzungen. (Vgl. das Ref. auf S. 411.) (IV 3 C.)