On the positive harmonic functions. (Q1470834)

In Analogie zu bekannten Untersuchungen von \textit{Carathéodory} und \textit{Fejér} behandelt der Verf. die Fragen: Unter welchen Bedingungen gibt es eine harnmonische Funktion \[ U(r,\vartheta)=a_0+\sum_{\nu=1}^\infty r^\nu(\alpha_\nu\cos\nu\vartheta+\beta_\nu\sin\nu\vartheta), \] die für \(r<1\) nicht-negativ ist und einer der folgenden Bedingungen genügt: 1. an \(n\) gegebenen Stellen \((r_\nu,\vartheta_\nu)(\nu=1,2,\dots,n)\) nimmt \(U(r,\vartheta)\) gegebene Werte an \[ (a)\quad U(r_\nu,\vartheta_\nu)=c_\nu,r_\nu<1\;(\nu=1,2,\dots,n); \] 2. die konjugierte Funktion \(V(r,\vartheta)\) (wobei \(V(0,\vartheta)=0\)) nimmt an \(n\) gegebenen Stellen gegebene Werte an \[ (b)\quad V(r_\nu,\vartheta_\nu)=c_\nu'\;(\nu=1,2,\dots,n); \] 3. es bestehen sowohl die Beziehungen (a) wie (b ). Schließlich wird der Satz bewiesen: unter allen für \(| z| <1\) regulären Funktionen \(f(z)\), für die \(f(a_i)=b_i(i=1,2,\dots,n)\) gilt, gibt es genau eine \(F(z)\), so daß\ \(| F(z)| =\text{ konst. }=N\) für \(| z| =1\) und für jedes andere \(f(z)\) die Beziehung gilt \(N<\text{ Max}| f(z)(| z| <1);\;F(z)\) ist rational. -- Diesen Satz beweis der. Verf. schon in einer früheren Arbeit auf anderem Wege. (Vgl. Tôhoku Science Rep. 4, 297. F. d. M. 45, 1331 (JFM 45.1331.*), 1914-15; außerdem \textit{G. Pick}, Math. Ann. 77, 7. F. d. M. 45, 642 (JFM 45.0642.*), 1914-15; ferner die Ref. S. 473-474.) (IV 13.)