Upper and lower limits of some quantities regarding analytic functions. (Q1470836)

Im \textit{Schwarz}schen Lemma und vielen sich an dieses anschließenden Untersuchungen werden einer in einem Kreise regulären und beschränkten Funktion gewisse Bedingungen wie bestimmte Werte der Funktion und ihrer Ableitungen in einzelnen Punkten auferlegt und alsdann nach den Beziehungen gefragt, die zwischen diesen verschiedenen Bedingungen bestehen müssen, wenn sie miteinander verträglich sein sollen, oder nach den äußersten Werten, die eine allen Bedingungen genügende Funktion in den einzelnen Stellen des Kreises annimmt. Es stellt sich heraus, daß\ die sich notwendig ergebenden Ungleichungsbeziehungen stets für gewisse rationale Funktionen möglichst schlecht, d. h. mit dem Gleichheitszeichen erfüllt sind. Diese Beobachtung gibt dem Verf. Gelegenheit, alle derartige Sätze in einigen ganz allgemeinen zusammenzufassen. Als Beispiele zu diesen ergibt sich dann eine Reihe von Einzelfragen, die sich alle durch die Darlegungen des Verf. erledigen lassen. Darlegungen, die eine Weiterführung der Arbeit des gleichen Verf. in Tôhoku Science Rep. 4, 306 (F. d. M. 45, 1331 (JFM 45.1331.*), 1914-15) darstellen. Ich greife eine solche Frage als Probe heraus: Man betrachte alle die Funktionen \(f(z)\), die in \(| z| <1\) regulär sind und da den Bedingungen \(f(a)=A,f(b)=B\) mit \(| a|,| b| <1,A\neq B\) genügen. \(M_f\) sei die obere Grenze von \(| f(z)| \) für \(| z| <1\). Welches ist die untere Grenze \(M\) aller \(M_f\)? Die allgemeinen Sätze ergeben das Resultat, daß\ es eine Funktion gibt, für die \(M_f=M\) wird. Diese ist von der Form \[ f(z)=e^{i\vartheta}M\frac{z-t}{t_z-1},\;| t| <1. \] Und nun ist nur noch die Aufgabe zu lösen, hier \(t\) und \(M\) so zu bestimmen, daß\ die Funktion den gegebenen Bedingungen genügt. Das führt schließlich auf eine quadratische Gleichung, deren eine \(| t| <1\) entspreehende Wurzel das gesuchte \(M\) als absoluten Betrag besitzt.