Theorems concerning the summability of series by \textit{Borel}'s exponential method. (Q1470858)

Eine kleine Arbeit über Summierungsverfahren, die aber, gleich vielen andern derselben Verfasser, so voll interessanter Sätze und Fragestellungen steckt, daß\ es schwer ist, in kurzen Worten das wesentliche wiederzugeben. In einer früheren Arbeit (F. d. M. 43, 311 (JFM 43.0311.*), 1912) hatten die Verf. die Frage offen gelassen, ob (s. den Schlußsatz des ebengenannten Referates) aus der \(B\)-Summierbarkeit einer Reihe \(\sum a_n\) zusammen mit der Voraussetzung, daß\ \(\sqrt{n}a_n\) beschränkt bleibe, die Konvergenz der Reihe folge. (Unter der Annahme \(\sqrt{n}a_n\to 0\) war dies damals bewiesen worden.) Diese Frage wird jetzt im bejahenden Sinne entschieden. Der Beweis ist wesentlich schwieriger als der damalige. (Vgl. die nachst. besprochene Arbeit von \textit{Valiron}.) In der zweiten Hälfte der Arbeit werden zwei neue Summierungsverfahren angegeben und über ihre Beziehungen zu dem \textit{Borel}schen und \textit{Cesàro}schen Verfahren einige Sätze bewiesen, viele genannt und eine große Zahl Fragen aufgeworfen: 1. Eine Reihe \(\sum a_n\) mit den Teilsummen \(s_n\) heiße \((E,a)\)-summierbar mit der Summe \(s\), wenn \[ \lim_{\mu\to+\infty}\sqrt{\frac{a}{\pi\mu}}\sum_{h=- \infty}^{+\infty}e^{-ih^2/\mu}s_{h+\mu}=s \] ist. Dabei sind alle \(s_\nu\) mit negativem Index =0 zu setzen. 2. Es sei \(F(y)=\sum a_ne^{-ny}\) für \({\mathfrak R}(y)>0\) konvergent und es sei \[ \sum b_n\equiv\sum\frac{(- k)^n}{n!}F^{(n)}(k) \] die \textit{Taylor}sche Entwicklung von \(F(y)\) um die Stelle \(k>0\) für den Nullpunkt der Ebene. Dann soll \(\sum a_n\) ``mit dem Radius \(k\) summierbar zur Summe \(s\)'' heißen, wenn \(\sum b_n\) konvergent und \(=s\) ist. -- Hier gilt z. B. der \textit{Satz}: Ist \(\sum a_n\) mit dem Radius \(k\) summierbar, so ist sie auch mit jedem kleineren Radius und zur selben Summe summierbar. -- Ferner der schon 1912 von \textit{M. Riesz} vermutete \textit{Satz}: Wenn \(a_n\to 0\) strebt, so ist \(\sum a_n\) dann und nur dann \(B\)-summierbar, wenn die um den Mittelpunkt \(+\frac 12\) angesetzte \textit{Taylor}sche Entwicklung von \(\sum a_nx^n\) im Punkte +1 der Ebene konvergiert.