Sur une classe de séries de Dirichlet. (Q1470863)

Es werden Dirichletsche Reihen der beiden Formen \(\sum\frac{\varphi(n)}{n^s}\) und \(\sum\frac{\psi(\log n)}{n^s}\) betrachtet. Diese Reihen werden mit Hilfe der Eulerschen Summenformel transformiert, und es ergibt sich, daß wenn über den Grad des Wachstums der Funktionen \(\varphi(x)\), \(\psi(x)\) und ihrer Ableitungen gewisse Voraussetzungen gemacht werden, die beiden Differenzen \[ \sum_1^\infty \frac{\varphi(n)}{n^s}- \int_1^\infty\frac{\varphi(x)}{x^s}\,dx \] und \[ \sum_1^\infty \frac{\psi(\log n)}{n^s}-\int_1^\infty \psi(z)e^{-(s-1)z}\,dz \] ganze Funktionen von \(s\) sind. Über die Größenordnung und die sonstigen Eigenschaften dieser ganzen Funktionen werden verschiedene Resultate abgeleitet. Wenn \(\varphi(x)\) und \(\psi(x)\) gewisse besondere Entwicklungen gestatten, nehmen die aus dieser Darstellung folgenden Sätze über die Funktionen \(\sum\frac{\varphi(n)}{n^s}\) und \(\sum\frac{\psi(\log n)}{n^s}\) eine sehr einfache Form an. In diesem Zusammenhang wird auch kurz auf die Theorie der allgemeineren Reihen \(\sum a_ne^{- \lambda_ns}\) eingegangen. Wird \(\psi(z)\) als Funktion eines komplexen Argumentes \(z\) aufgefaßt, so ist das Integral \[ \int_0^\infty\psi(z)e^{-(s-1)z}\,dz \] weiterer Umformung fähig, und man kann unter Heranziehung der bekannten Phragmén-Lindelöf\-schen Sätze Schlüsse über die Eigenschaften der Funktion \(\sum\frac{\psi(\log n)}{n^s}\) ziehen. Als Anwendung der allgemeinen Entwicklungen werden einige spezielle Reihen behandelt, eine einfache Ableitung der Funktionalgleichung der Zetafunktion wird gegeben, und es wird schließlich die Möglichkeit untersucht, gewisse Reihen von der Form \(\sum\frac{\psi(\log n)}{n^s}\) im Punkte \(s=1\) durch ``typische Mittel'' zu summieren.