Eine notwendige und hinreichende Bedingung füe die Darstellbarkeit einer Funktion als \textit{Dirichlet}sche Reihe. (Q1470877)

Der Verf. beweist: Eine notwendige und hinreichende Bedingung dafür, daß\ eine Funktion \(\varphi(z)\) sich als eine für \({\mathfrak R}(z)\geqq 0\) absolut konvergente \textit{Dirichlet}sche Reihe vom gewöhnlichen Typus \(\lambda_n=\log n\) darstellen läßt, ist, daß\ \(\varphi(z)\) die Form \[ \varphi(z)=\frac{1}{\Gamma(z)}\int_0^\infty\tau^{z- 1}f(\tau)d\tau \] hat, wo die Funktion \(f(z)\) die folgenden Bedingungen erfüllt: 1. Für \(\sigma>0\) ist \(f(s)\) regulär und periodisch mit der Periode \(2\pi i\). 2. \(f(s)\) verschwindet gleichmäßig, wenn \(\sigma\to+\infty\). 3. Die Koeffizientensumme der Reihe \[ f(s)=\sum_1^\infty c_ne^{-ns} \] ist absolut konvergent.