Sur l'hypothèse de Riemann. (Q1470881)

In dieser Note wird die bemerkenswerte Integraldarstellung \[ \frac{\Gamma(1-\frac s2)}{\zeta(s)}=\int_0^\infty F(x).x^{- (\frac s2+1)}\,dx \] aufgestellt, bei der \(F(x)\) die ganze Funktion \[ F(x)=\sum_{k=1}^\infty \frac{(-1)^{k+1}}{C_k.(k-1)!} x^k \quad (C_k=\sum_{n=1}^\infty\frac{1}{n^{2k}}), \] bedeutet. Aus dieser Darstellung folgt auf Grund bekannter Sätze von Carathéodory und Landau, daß die linksstehende Funktion dann man nur dann für \(\text{Re}(s)>\frac 12\) regulär (daß also die Riemannsche Vermutung dann und nur dann richtig ist), wenn für reelles \(x\to+\infty\) und jedes \(\delta>0\) \[ F(x)=O(x^{\frac 14+\delta}) \] gilt. Von der ganzen Funktion \(F(x)\) wird dann noch gezeigt, daß sie vom Geschlechte 1 ist, daß also, wenn \(\gamma_\nu\) ihre von Null verschiedener Nullstellen sind, \(\sum| \frac{1}{\gamma_\nu}| ^{1+s}\) für jedes \(\varepsilon>0\) konvergiert, daß dagegen \(\sum| \frac{1}{\gamma_\nu}| \) selber divergiert; ferner daß\ \(F(x)\) unendlich viele nicht-reelle Nullstellen hat.