Sur la série de \textit{Lambert} et son application à la théorie des nombres. (Q1470891)

In dem ersten Teil dieser tiefgehenden Arbeit wird für die durch die \textit{Lambert}sche Reihe \[ \sum\frac{x^n}{1-x^n}=\sum\frac{1}{e^{nz}-1}=L(z)\;(x=e^{- z},{\mathfrak R}(z)>0) \] dargestellte Funktion eine für alle nahe bei Null gelegenen \(z\) gültige asymptotische Funktionalgleichung aufgestellt, nämlich \[ L(z)=\frac{C-\log z}{z}+\frac 14- \sum_{\nu=1}^p\frac{B_\nu^2}{2\nu\cdot(2\nu)!}z^{2\nu- 1}\mp\frac{2\pi i}{z}L(\frac{4\pi^2}{z})+\Theta_p, \] bei der die Zeichen \(\mp\) gelten, je nachdem \({\mathfrak F}(z)\gtrless 0\) ist, und bei der für \(\Theta_p\) die Abschätzung gilt \[ | \Theta_p| <\frac{4\cdot(2p)!\cdot\sqrt{2(p+1)e}\cdot\zeta^ 2(2p+1)}{(2\pi)^{4p+2}}| z| ^{2p}. \] Im zweiten Teil der Arbeit wird diese Formel benutzt, um für \(k\geqq 3\) ein Resultat herzuleiten, das von \textit{Voronoï} (1904) stammt und später (1916) von \textit{Landau} auf andere Weise bewiesen worden ist, nämlich die folgende Formel, bei der \(\tau(n)\) die Anzahl der Teiler von \(n\) bedeutet: \[ \begin{multlined} \frac{1}{k!}\sum_{n\leqq x}\tau(n)(x- n)^k=\frac{x^{k+1}}{(k+1)!}\left\{\log x+C- \frac{\Gamma'(k+2)}{\Gamma(k+2)}\right\}+\frac 14\frac{x^k}{k!} \\ -\sum_{\nu\leqq\frac{k- 1}{2}}\frac{B_\nu^2}{2\nu(2\nu)!}\cdot\frac{x^{k+1-2\nu}}{(k+1- 2\nu)!}+F_k. \end{multlined} \] Hierin ist das Restglied \(F_k=0(x^{\frac k2+\frac 14})\) und wird von \textit{Wigert} bis auf ein Restglied geringerer Ordnung durch eine (ziemlich komplizierte) unendliche Reihe dargestellt, deren Glieder mit Hilfe \textit{Bessel}scher Funktionen gebildet sind. (II 8.)