Bemerkung zur Theorie der ganzen Funktionen. (Q1470910)

Es seien \(g(x)\) und \(H(x)\) Polynome, \(F(x)=g(x)e^{H(x)}\). Sind die Nullstellen sämtlicher Derivierten \(F'(x),F''(x),F'''(x),\dots\) reell, so kann man schließen, daß\ \(H(x)\) reelle Koeffizienten hat, und entweder vom ersten Grade ist, oder vom zweiten Grade, und in diesem Falle ist der Koeffizient von \(x^2\) negativ. Sind die besagten Nullstellen alle reell und positiv, so ist \(H(x)\) sicherlich vom ersten Grade, und zwar ist der Koeffizient von \(x\) negativ. Der eigentliche Grund dieser Verhältnisse ist in den Resultaten von \textit{G. Pólya} und \textit{I. Schur} (F. d. M. 45, 176 (JFM 45.0176.*), 1914-15) zu suchen.