Zur Theorie der konformen Abbildung nichtanalytischer, singularitätenfreier Flächenstücke auf ebene Gebiete. (Q1471004)

Es mögen \(x\) und \(y\) rechtwinklige Koordinaten eines Punktes in der Ebene, \(X,Y,Z\) ebensolche Koordinaten eines Punktes im Raume, \(c\) ein einfach zusammenhängendes, ganz im Endlichen liegendes Gebiet in der Ebene \((x,y)\) bezeichnen. Es seien ferner \(X(x,y),Y(x,y),Z(x,y)\) in \(c\) erklärte reelle, nebst ihren partiellen Ableitungen erster Ordnung stetige Funktionen. Es wird vorausgesetzt, daß\ die Funktionaldeterminanten \[ (1)\quad \frac{\partial(Y,Z)}{\partial(x,y)}, \frac{\partial(Z,X)}{\partial(x,y)}, \frac{\partial(X,Y)}{\partial(x,y)} \] in \(c\) nicht gleichzeitig verschwinden. Durch die Gleichungen \[ (2)\quad X=X(x,y),Y=Y(x,y),Z=Z(x,y) \] wird ein ganz im Endlichen liegendes, singularitätenfreies Flächenstück \(C\) definiert. Es sei \(\omega(x,y)\) irgendeine partielle Ableitung erster Ordnung der Funktionen (2). Es wird angenommen, daß\ \(\omega(x,y)\) einer Beziehung von der Form \[ | \omega(x+h,y+h')-\omega(x,y)| <\text{ konst.}\;(| h| +| h'| )^\nu\;(0<\nu<1) \] genügt. In der vorliegenden Arbeit wird bewiesen, daß\ ein beliebiger, in der Ebene \((x,y)\) von einer stetig gekrümmten, doppelpunktlosen Kurve begrenzter Teil des Flächenstückes \(C\) auf ein Kreisgebiet konform abgebildet werden kann. Dieses Resultat reicht weiter als die früheren analogen Sätze des Verf. (F. d. M. 42, 710 (JFM 42.0710.*), 1911) und die neueren einschlägigen Ergebnisse von \textit{A. Korn} (F. d. M. 45, 568 (JFM 45.0568.*), 1914-15). (IV 13.)