Über den \textit{Koebe}schen Verzerrungssatz. (Q1471010)

Bildet die analytische Funktion \(w=f(z)\) das Innere des Einheitskreises \(| z| =1\) auf ein schlichtes Gebiet ab, das den Punkt \(w=\infty\) nicht im Innert enthält, so existiert nach dem \textit{Koebe}schen Verzerrungssatz für den Quotierten \(\left| \frac{f'(z_1)}{f'(z_2)}\right| \) bei Beschränkung von \(z_1\) und \(z_2\) auf einen Kreis \(| z| \leqq\rho<1\) eine obere Schranke \(Q(\rho)\), die nur von \(\rho\) abhängt, nicht von der speziell gewählten Funktion. In der vorliegenden Arbeit wird ein neuer Beweis des Satzes gegeben, der zu einer expliziten Formel für \(Q(\rho)\) führt, in der nunmehr eine numerische Konstante unbestimmt bleibt. Den Ausgangspunkt des Beweises bildet der Nachweis der Existenz einer numerischen oberen Schranke \(\kappa\) für den Quotienten \(\left| \frac{f''(0)}{2f'(0)}\right| \) für schlichte Abbildungen. Diese Differentialungleichung wird nun auf einen beliebigen Punkt \(z\) im Innern des Einheitskreises verallgemeinert, wobei sich der Verf. der nicht-euklidischen (kreisgeometrischen) Maßbestimmung in bezug auf den Einheitskreis als Maßkreis bedient. Durch Integration der so erhaltenen Ungleichung längs eines Orthobogens des Maßkreises erhält man den Verzerrungssatz in folgender gegenüber linearen Transformationen des Einheitskreises in sich invarianten Gestalt: \[ \frac{\left(\frac{| dw| }{d\sigma}\right)_{z=z_1}}{\left(\frac{| dw | }{d\sigma} \right)_{z=z_2}}\leqq e^{\kappa[z_1z_2]}. \] Dabei bedeutet \(d\sigma\) das n. e. Bogenelement \([z_1z_2]\) die n. e. Distanz der beliebig im Einheitskreis gelegenen Punkte \(z_1,z_2\). Daraus ergibt sich dann, daß\ für \(Q(\rho)\) der Ausdruck \(\left(\frac{1+\rho}{1-\rho}\right)^{2\kappa}\) gesetzt werden kann. Durch nochmalige Integration ergibt sich die neue Ungleichung \[ | w(z_1)-w(z_2)| \leqq \frac 1\kappa \left(\frac{| dw| }{d\sigma}\right)_{z=z_1}\{e^{\kappa[z_1z_2]}- 1\}, \] die eine Abschätzung der Distanz der Bildpunkte zweier beliebiger Punkte \(z_1,z_2\) gibt, und aus dieser die äquivalente Relation \[ | f(z)- f(0)| \leqq\frac{| f'(0)| }{2\kappa}\left\{\left(\frac{1+| z| }{1- | z| }\right)^\kappa-1\right\}\cdot \] Der Verf. zeigt weiter, daß\ sofern \(\kappa\) den vermuteten Wert 2 besitzt (vgl. die zweitnachst. referierte Arbeit von \textit{Bieberbach}, wo die Vermutung bestätigt wird), alle erhaltenen Schranken scharf sind und nur bei den Funktionen \(f(z)=A\left(\frac{z+\zeta}{z-\zeta}\right)^2+B(A\neq 0,| \zeta| =1)\) erreicht werden.