Über den Verzerrungssatz in der Theorie der konformen Abbildung. (Q1471011)

Den Ausgangspunkt der Ausführungen der vorliegenden Arbeit bildet der von \textit{Koebe} herrührende, vom Verf. neu bewiesene Satz: Bildet die Funktion \(\varphi(z)=z\frac{\alpha_1}{z}+\frac{\alpha_2}{z^2}+\cdots\) das Äußere des Einheitskreises schlicht ab, so existiert für die Maximaldistanz des Randes des Bildbereichs vom Nullpunkt eine numerische obere Grenze \(\kappa\). Von \(\kappa\) wird gezeigt, daß\ es jedenfalls zwischen 2 und \(2+\sqrt 2\) liegen muß. (Vgl. die nachst. referierte Arbeit, wo bewiesen wird: \(\kappa=2\).) Mit Hilfe des Satzes werden zuerst rohe Schranken für den Abbildungsmodul \(| f'(z)| \) einer das \textit{Innere} des Einheitskreises schlicht abbilden Funktion \(f(z)=z+a_1z^2+\cdots\) bestimmt, die dann durch Ausnutzung ihres Verhaltens für kleine Werte von \(| z| \) durch eine Art Integration verfeinert werden. Es ergibt sich schließlich \[ (1-| z| )^{2\kappa}<| f'(z)| \leqq\frac{1}{(1- | z| )^{2\kappa}}. \] (Vgl. die nachst. referierte Arbeit, wo die scharfen Schranken angegeben werden.) Die Arbeit enthält außerdem einige weitere Abschätzungen und Koeffizientenungleichungen für schlicht abbildende Potenzreihen.