Über die Koeffizienten derjenigen Potenzreihen, welche eine schlichte Abbildung des Einheitskreises vermitteln. (Q1471012)

Die Grundlage der Untersuchungen des ersten Abschnitts bildet die Hexleitung der folgenden Flächenformel: Es sei \(\varphi(z)=z+\alpha_0+\frac{\alpha_1}{z}+\cdots\) eine Funktion, die das Äußere des Einheitskreises \(| z| >1\) schlicht abbildet, dann ist der (äußere) Inhalt \(J\) des Komplements des Bildbereichs gegeben durch \[ J=\pi(1-| \alpha_1| ^2-2| \alpha_2| ^2-\cdots). \] Daraus werden die Folgerungen gezogen: \[ (1)\quad J\leqq\pi\text{ (Gleichheitszeichen nur für } \varphi(z)=z+\alpha_0), \] \[ (2)\quad \sum_{\nu=1}^\infty \nu| \alpha_\nu| ^2\leqq 1. \] Die Ungleichung (1) gestattet es, den \textit{Faber}schen Beweis dafür, daß\ \textit{Koebe}s Verzerrungskonstante den Wert \(\frac 14\) besitzt (vgl. die obigen Referate der Arbeiten von \textit{Bieberbach} und \textit{Faber}) stark zu vereinfachen. Aus der Koeffizientenungleichung (2) werden Ungleichungen für die Koeffizienten einer das Innere des Einheitskreises schlicht abbildenden Potenzreihe \(f(z)=z+a_1z^2+a_2z^3+\cdots\) abgeleitet, insbesondere ergibt sich: \(| a_1| \leqq 2, | a_2- a_1^2| \leqq 1\). Beide Schranken werden nur bei der \textit{Koebe}schen Funktron \(f(z)=\frac{z}{(1-\varepsilon z)^2}\;(| \varepsilon| =1)\) erreicht. Allgemein existiert eine Reihe von gewissen positiven Zahlen \(\kappa_\nu\;(\nu=1,2,\dots)\) derart, daß\ für alle schlicht abbildenden Funktionen \(| a_\nu| \leqq\kappa\nu\;(\nu=1,2,\dots)\). Aus der Ungleichung \(| a_1| \leqq 2\) zieht der Verf., indem er \(f\) durch \(\frac 1f,\;z\) durch \(\frac 1z\) ersetzt, die weitere Folgerung: Bildet \(\varphi(z)=z+\frac{\alpha_1}{z}+\cdots\) das Äußere des Einheitskreises schlicht ab, so ist der Rand des Bildbereichs ganz innerhalb des Kreises \(| \varphi| =2\) und erreicht die Peripherie nur im Fall der Schlitzabbildungen \[ \varphi(z=Z+\frac\varepsilon z\;(| \varepsilon| =1). \] Im zweiten Abschnitt der Arbeit beschäftigt sich der Verf. mit der Aufsuchung der notwendigen und gleichzeitig hinreichenden Bedingungen für die Koeffizienten \(a_\nu\) bei schlichter Abbildung von \(| z| <1\). Den Ausgangspunkt bildet die Betrachtung der Polynome \(n\)-ten Grades. Die hier möglichen Werte der \(a_\nu\) erfüllen im Koeffizientenraum \((a_1,a_2,\dots,a_n)\) einen beschränkten einfach zusammenhängenden Bereich \(B_n^{(n)}\), der von einer algebraischen Fläche begrenzt ist. Zu ihrer Gleichung kann man in folgender Weise gelangen: Man bilde die Resultante \(R(z_1)\) der beiden Funktionen \(\Phi_{z_1}(z)=f\frac{f(z)-f(z_1)}{z-z_1}\) und \(\Psi_{z_1}(z)=z_1^nz_2^n\overline\Phi_{z_1}(z)\) und setze deren Diskriminante gleich Null. Auch die Projektionen \(B_m^{(n)}(m<n)\) von \(B_n^{(n)}\) auf den Raum \((a_1,a_2,\dots,a_m)\) erweisen sich als einfach zusammenhängend. Zu ihren inneren Punkten gehören auch Funktionen, die einen Kreis \(| z| <R (R>1)\) schlicht abbilden, zu ihren Randpunkten Funktionen, die nur für \(| z| <1\) schlicht sind. Durch Grenzübergang \((n\to\infty)\) entstehen aus den \(B_m^{(n)}\) die Projektionen \(B_m\) der Koeffizientenbereiche der allgemeinen Potenzreihen. Die topologischen Eigenschaften sowie die Sonderstellung der Randpunkte bleibt erhalten. Dafür, daß\ \(f(z)\) schlicht abbildet, ist notwendig und hinreichend, daß\ \((a_1,\dots,a_m)\) dem Bereich \(B_m (m=1, 2,\dots)\) angehört.