Über die Lage der Windungspunkte bei konformer Abbildung einer Kreisscheibe auf eine \(n\)-fach überdeckte Kreisscheibe. (Q1471020)

Die untersuchten Eigenschaften sind invariant gegenüber linearen Transformationen der beiden Kreisscheiben. Der Verf. beschränkt sich deshalb auf Abbildungen der oberen Halbebene \(({\mathfrak I}z>0)\) auf sich selbst. Die Funktionen \(w=f(z)\), die die Abbildung vermitteln, haben die Gestalt: \[ =m-\sum_{\nu=1}^n\frac{a_\nu}{z-\alpha_\nu}\;(a_\nu>0,\alpha_\nu,m\text{ reell}). \] Aus der Gleichung \(\sum\frac{a_\nu}{(z-\alpha_\nu)^2}=0\) ergibt sich dann die Lage der ``\(V\)-Punkte'', denen im Bild die Windungspunkte entsprechen. Es wird zuerst der Fall \(n=2\) untersucht und gezeigt, daß\ der einzige in der oberen Halbebene vorhandene \(V\)-Punkt auf dem Orthogonalkreise der reellen Achse liegen muß, der die beiden Pole der Funktion verbindet. Im Fall \(n=3\) wird eine handliche Formel für die nicht-euklidische Distanz der beiden in der oberen Halbebene gelegenen \(V\)-Punkte abgeleitet. (Als Maßkreis ist die reelle Achse zu nehmen.) Sodann wird eine für beliebiges \(n\) gültige Formel abgeleitet, die gestattet, Aussagen über die Lage der \(V\)- Punkte in Aussagen über die Windungspunkte selbst umzuwandeln: Es seien \(w,w'\) zwei beliebige Punkte der oberen Halbebene, \(z_1,\dots,z_n\) diejenigen \(z\)-Werte, denen bei der Abbildung \(w\) entspricht, \(z'\) einer der Punkte, aus denen \(w'\) hervorgeht; dann ist \[ \text{Tg}\tfrac 12[ww']=\text{Tg}\,\tfrac 12[z_1z']\cdot\text{Tg}\,\tfrac 12[z_2z']\dots\text{Tg}\,\frac 12[z_nz'], \] wenn mit \([ab]\) die nicht-euklidische Distanz der Punkte \(a,b\) bezeichnet wird.