Über Funktionen mit beschränktem mittleren Quadrat und über die Grenzen der Flächenvergrößerung bei konformer Abbildung. (Q1471021)

Der Verf. behandelt folgende zwei Extremalprobleme: 1. Sei \(f(z)=a_0+a_1z+a_2z^2+\cdots\) eine im Einheitskris \(| z| <1\) konvergente Potenzreihe mit vorgeschriebener mittlerer Norm \(M\) auf \(| z| =1\), letztere definiert durch die Gleichung \(M=\lim_{r\to 1}\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}| f(re^{i\varphi}| ^2d\varphi(0<r<1)\); wie muß\ man \(f(z)\) wählen, damit die mittlere Norm \(M_1\) von \(f(z)\) auf einem zweiten festen Kreis \(K_1\), der im Einheitskreis enthalten ist, möglichst groß\ wird? Indem der Verf. \(M\) und \(M_1\) durch die Koeffizienten \(a_\nu\) ausdrückt, führt er das Problem auf die Bestimmung der Hauptachsen einer quadratiachen Form in unendlich vielen Variabeln zurück. Im Fall, daß\ \(K_1\) ganz im Innern Einheitskreises gelegen ist, liefert die Auflösung der zugehörigen linearen Gleichungen als Extremalfunktionen: \(f(z)=\varepsilon\frac{\sqrt{M(1-a\overline a)}}{1-\overline az}(| \varepsilon| =1)\); \(a\) bedeutet den innerhalb \(K\) gelegenen Nullkreis des durch \(K\) und \(K_1\) bestimmt büschels. 2. Es bilde \(f(z)\) den Einheitskreis auf einen (nicht notwendig schlichten) Bereich mit vorgeschriebenem (inneren) Inhalt \(J\) ab; für welche dieser Funktionen wird der Inhalt \(J_1\) des Bildes von \(K_1\) ein Maximum? Die bei der Lösung des Problems 1. verwendete Methode führt, im Falle \(K_1\) ganz innerhalb des Einheitskreises gelegen ist, zu den Extremalfunktionen: \(f(z)=\varepsilon\sqrt{\frac J\pi}\frac{z-a}{1-\overline az}+C(| \varepsilon| =1)\). Berühren einander die Kreise, so existiert kein Maximum für \(J_1\). Die obere Grenze der für \(J_1\) möglichen Werte ist \(J\) selbst.